Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ясно, что Q
kn
∈ IH
T
2
k
n
и в силу (2.18)
kQ
kn
k
2
6 ky − P
2
k
n
yk
2
+ ky − P
2
k−1
n
yk
2
= O
©
(2
k−1
n)
−r−α−1
ª
. (2.25)
Используя неравенство Бернштейна (1.73), из (2.24) и (2.25) по-
следовательно находим требуемую оценку:
ky
0
(s) − (P
n
y)
0
(s)k 6
∞
X
k=1
kQ
0
kn
(s)k
2
6
∞
X
k=1
2
k
nkQ
kn
k
2
=
= O
(
∞
X
k=1
2
k
n · (2
k−1
n)
−r−α−1
)
= O
¡
n
−r−α
¢
.
Пусть теперь выполнено условие (2.20). Тогда существует такое
ε > 0, что ky − P
n
yk
∞
= O
¡
n
−r−α−1+ε
¢
, где 0 < α − ε < 1. Отсюда
и из обратных теорем теории приближений (см., напр., [48, 75]) в C
2π
следует, что функция y(s) ∈ W
r+1
H
α−ε
. Поскольку
Bx
∗
≡ Sx
∗
+ V x
∗
≡ y, Bx
∗
n
≡ Sx
∗
n
+ V x
∗
n
≡ P
n
y,
то
S(x
∗
− x
∗
n
) = (y − P
n
y) − V (x
∗
− x
∗
n
) ≡ b
n
(s). (2.26)
Нетрудно показать, что функция b
n
∈ W
1
2
равномерно относи-
тельно n. Поэтому, решая уравнение (2.26) относительно x
∗
− x
∗
n
, с
помощью леммы 1.2 находим
x
∗
(s) − x
∗
n
(s) = −2 I
µ
db
n
(σ)
dσ
; s
+
1
2π ln 2
2π
Z
0
b
n
(σ) dσ. (2.27)
Из (2.19) и (2.26) следует, что
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2π ln 2
2π
Z
0
b
n
(σ) dσ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= O {kS(x
∗
− x
∗
n
)k
2
} = O
µ
1
n
r+α
. (2.28)
Из (2.26), (2.27) находим
kI(b
0
nσ
; s)k
∞
6 kI(y − P
n
y)
0
σ
k
∞
+
+kI[V (x
∗
− x
∗
n
)]
0
σ
k
∞
= kS
1
k
∞
+ kS
2
k
∞
. (2.29)
Для S
1
(s) с помощью (1.165), (1.166) и (2.18), (2.20), как и при дока-
зательстве леммы 1.6, последовательно находим
kS
1
k
∞
6
∞
X
k=1
k(IP
2
k
n
y − IP
2
k−1
n
y)
0
s
k
∞
6
54
     Ясно, что Qkn ∈ IHT2k n и в силу (2.18)
                                                ©              ª
 kQkn k2 6 ky − P2k n yk2 + ky − P2k−1 n yk2 = O (2k−1 n)−r−α−1 . (2.25)
    Используя неравенство Бернштейна (1.73), из (2.24) и (2.25) по-
следовательно находим требуемую оценку:
                                       ∞
                                       X                       ∞
                                                               X
           0              0
        ky (s) − (Pn y) (s)k 6               kQ0kn (s)k2   6         2k nkQkn k2 =
                                       k=1                     k=1
                    (   ∞
                                                      )
                        X                                     ¡     ¢
               =O             2k n · (2k−1 n)−r−α−1        = O n−r−α .
                        k=1
     Пусть теперь выполнено¡ условие (2.20).
                                        ¢       Тогда существует такое
                              −r−α−1+ε
ε > 0, что ky − Pn yk∞ = O n              , где 0 < α − ε < 1. Отсюда
и из обратных теорем теории приближений (см., напр., [48, 75]) в C2π
следует, что функция y(s) ∈ W r+1 H α−ε . Поскольку
          Bx∗ ≡ Sx∗ + V x∗ ≡ y,                Bx∗n ≡ Sx∗n + V x∗n ≡ Pn y,
то
               S(x∗ − x∗n ) = (y − Pn y) − V (x∗ − x∗n ) ≡ bn (s).                   (2.26)
    Нетрудно показать, что функция bn ∈ W21 равномерно относи-
тельно n. Поэтому, решая уравнение (2.26) относительно x∗ − x∗n , с
помощью леммы 1.2 находим
                                 µ             ¶          Z2π
                                     dbn (σ)        1
     x∗ (s) − x∗n (s) = −2 I                 ;s +             bn (σ) dσ.             (2.27)
                                       dσ         2π ln 2
                                                                 0

Из (2.19) и (2.26) следует, что
    ¯                   ¯
    ¯        Z2π        ¯                         µ    ¶
    ¯ 1                 ¯                           1
    ¯                   ¯          ∗   ∗
    ¯ 2π ln 2 bn (σ) dσ ¯ = O {kS(x − xn )k2 } = O nr+α .                            (2.28)
    ¯                   ¯
               0

Из (2.26), (2.27) находим
                      kI(b0nσ ; s)k∞ 6 kI(y − Pn y)0σ k∞ +
                   +kI[V (x∗ − x∗n )]0σ k∞ = kS1 k∞ + kS2 k∞ .                       (2.29)
Для S1 (s) с помощью (1.165), (1.166) и (2.18), (2.20), как и при дока-
зательстве леммы 1.6, последовательно находим
                                ∞
                                X
                   kS1 k∞ 6           k(IP2k n y − IP2k−1 n y)0s k∞ 6
                                k=1

                                              54

Страницы