Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 44 стр.

Для этих методов приближенные решения (1.21∗ ) построены так, что
x∗n (s) ∈ IHTn . Отсюда и из определения наилучших среднеквадратиче-
ских приближений следует, что
                 kx∗ − x∗n k2 > EnT (x∗ )2 = ρ(x∗ , IHTn )2 ,   (1.172)
где ρ(x∗ , F )2 – расстояние от элемента x∗ ∈ X до множества F ⊂
X = L2 . Из неравенств (1.171) и (1.172) следует утверждение а) для
м.Г., м.н.к. и м.п. Для м.в.я. доказательство ведется аналогичным об-
разом.
      Утверждение б) доказывается с помощью результатов глав II –
IV монографии автора [25] и частично следует из работ [31, 32]. Од-
нако ввиду излишней громоздкости выкладок доказательство здесь не
приводится.
      Отметим, что как теорема 1.16, так и аналогичные им более об-
щие результаты следуют также из соответствующих результатов работ
автора [25, 29]. Более того, на основе полученных результатов и с по-
мощью результатов и методов работ [25, 29, 37] может быть решена до-
вольно трудная, но в то же время весьма важная задача оптимизации
прямых и проекционных методов решения с.и.у. (0.1), когда оптималь-
ная оценка погрешности определяется по минимаксному принципу [5,
25]. Некоторое представление о полученных при этом результатах дают
работы автора [21 - 32], а также [1, 36, 39, 43, 87].
     1.12. Об итерационных методах. До сих пор речь шла о пря-
мых и проекционных методах решения с.и.у. (0.1). Это уравнение мож-
но решать также различными итерационными методами. В частности,
можно использовать метод простой итерации в следующем виде:
      Sxk+1 + Rxk = y ( S, R : X −→ Y, k = 0, 1, . . .),        (1.173)
где x◦ – произвольный элемент из пространства X, в частности, x◦ =
= S −1 y. Тогда леммы 1.2 и 1.3 позволяют доказать сходимость по-
следовательных приближений xk (s) → x∗ (s), k → ∞, в пространстве
L2 [0, 2π] с определенной скоростью, если S, R (и A ≡ S+R) рассматри-
вать как линейные операторы из пространства X = L2 в пространство
Y = W21 ; возможен и другой способ выбора пространств, напр., можно
положить X = H β , Y = H 1+β ≡ Hβ1 ( 0 < β < 1). К уравнению (0.1)
могут быть применены также другие, в частности, т.н. универсальные
итерационные методы (см., напр., [60]).
      Теперь в итерационном процессе (1.173) начальное приближение
выберем специальным образом, а именно, положим x◦ = x∗n , где x∗n –

                                      43