Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 42 стр.

     Для доказательства следствия воспользуемся рядом
                        X ∞
            k ∗    ∗          k ∗        ∗          k dk
          D (x − xn ) =      D (x2j n − x2j−1 n ), D ≡ k ,
                         j=1
                                                      ds
сходящимся как в L2 , так и в C2π . Отсюда, применяя неравенства
С.Н.Бернштейна (и их следствия) для тригонометрических полиномов
в пространствах U = L2 [0, 2π] и U = C2π , находим
                                X∞
               k ∗     ∗
            kD (x − xn )kU 6       (2j n)k kx∗2j n − x∗2j−1 n kU .
                                  j=1

Отсюда при U = L2 [0, 2π] (U = C2π ) и из (1.151а) (соответственно
(1.151б)) находим оценку (1.152а) (соответственно (1.152б)).
      Теорема 1.14 и ее следствие доказаны полностью. В силу сказан-
ного выше, утверждение, аналогичное только что доказанной теореме
и ее следствию, справедливо также для других приближенных методов
решения с.и.у. (0.1), рассмотренных в этом параграфе.
     Замечание 1.4. В силу добавления к лемме 1.2, равномерные
оценки погрешности (1.135), (1.145), (1.151б) и (1.152б) не могут быть
получены непосредственно, т.е.при выборе X = C2π , если даже про-
странство Y выбрано в виде Y = X 1 = C2π    1
                                              . Это утверждение отно-
сится также к другим приближенным методам.
      1.11. Об устойчивости, обусловленности и оптимально-
сти приближенных методов. При практической численной реали-
зации приближенных методов большое значение имеет доказательство
их устойчивости и обусловленности. Пользуясь приведенными в §5 гл.1
[25] определениями и результатами, докажем следующее утверждение:
     Теорема 1.15. а) В условиях теоремы 1.3 м.Г., теоремы 1.4
м.к., теоремы 1.5 м.м.к., теоремы 1.7 м.в.я., теоремы 1.8 м.н.к.,
теоремы 1.10 м.п. устойчивы относительно малых возмущений эле-
ментов соответствующих аппроксимирующих СЛАУ. б) В каждой
из указанных теорем из хорошей обусловленности точного с.и.у. (0.1)
следует хорошая обусловленность соответствующих аппроксимиру-
ющих уравнений An xn = yn (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn , An : Xn −→ Yn )
исследованных методов.
    Доказательство проведем лишь для метода квадратур; другие
методы рассматриваются совершенно аналогично.
    В ходе доказательства теоремы 1.5 показано, что
                              ©                                          ª
 εn ≡ kA − An kXn →Y 6 ε0n = O EnT s (h0s )∞ + EnT σ (h0s )∞ + EnT σ (h)∞ ,

                                    41