Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

+
1
2 ln 2
|ρS(x
∗
− x
∗
n
)| ≡ M
1
+ M
2
+ M
3
+ M
4
+ M
5
, ψ ≡ ρhx
∗
n
.
Дальше доказательство существенным образом опирается на сле-
дующую лемму (доказательство приводится ниже):
Лемма 1.6.Для любой функции ϕ ∈ W
m
H
α
справедливы оценки
kI(ϕ − L
n,ω
ϕ)k
∞
6 d
0
n
−m−α
ln n при m + α > 0; (1.160)
kI(ϕ − L
n,ω
ϕ)
0
σ
k
∞
6 d
1
n
−m−α+1
ln n при m + α > 1, (1.161)
где d
i
– положительные постоянные, не зависящие от n.
Оценим каждое из слагаемых M
k
из (1.159) в отдельности.
Пользуясь (1.161), для слагаемого M
1
находим
M
1
≡ kI(y − L
n,ω
y)
0
σ
k
∞
= O
¡
n
−r−α
ln n
¢
. (1.162)
Поскольку kx
∗
n
k
2
= O (1) , n → ∞, и h ∈ W
r+1
H
α
(по s), то функция
ψ(s) ≡ (ρhx
∗
n
)(s) ∈ W
r+1
H
α
равномерно относительно n. Поэтому
снова по оценке (1.161) получаем
M
2
≡ kI(ψ − L
n,ω
ψ)
0
σ
k
∞
= O
¡
n
−r−α
ln n
¢
. (1.163)
Для M
3
из (1.159) имеем
M
3
= kI[ρh(x
∗
− x
∗
n
)]
0
σ
k
∞
= kρh
1
(x
∗
− x
∗
n
)k
∞
,
где h
1
(s, σ) = I
η
[h
0
η
(η, σ); s], а сингулярный оператор I = I
η
применен
по переменной η. В силу условия а) теоремы и свойств сингулярных
интегральных операторов (см., напр., главы 1 и 2 монографии [66])
функция h
1
(s, σ) удовлетворяет хотя бы условию Г¨eльдера с некото-
рым положительным показателем. Тогда из неравенства Г¨eльдера и
оценки (1.151а) находим
M
3
6 max
s,σ
|h
1
(s, σ)| · kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
¡
n
−r−α
¢
. (1.164)
В силу известных результатов (см., напр., [4, 45, 61])
d
ds
I(x; s) = I
µ
dx(σ)
dσ
; s
, x ∈ W
1
2
. (1.165)
Известно (см., напр., [75], с.223), что
°
°
°
°
d
ds
I(T
n
; s)
°
°
°
°
∞
6 n kT
n
(s)k
∞
, T
n
∈ IH
T
n
. (1.166)
Теперь с помощью леммы 1.5 и соотношений (1.165), (1.166) для сла-
гаемого M
4
из (1.159) находим
M
4
= kI(L
n,ω
ϕ)
0
σ
k
∞
= k(IL
n,ω
ϕ)
0
s
k
∞
6 n kL
n,ω
ϕk
∞
=
39
       1
   +       |ρS(x∗ − x∗n )| ≡ M1 + M2 + M3 + M4 + M5 , ψ ≡ ρhx∗n .
    2 ln 2
   Дальше доказательство существенным образом опирается на сле-
дующую лемму (доказательство приводится ниже):
     Лемма 1.6.Для любой функции ϕ ∈ W m H α справедливы оценки
       kI(ϕ − Ln,ω ϕ)k∞ 6 d0 n−m−α ln n при m + α > 0;             (1.160)
     kI(ϕ − Ln,ω ϕ)0σ k∞ 6 d1 n−m−α+1 ln n при m + α > 1,          (1.161)
где di – положительные постоянные, не зависящие от n.
     Оценим каждое из слагаемых Mk из (1.159) в отдельности.
     Пользуясь (1.161), для слагаемого M1 находим
                                          ¡          ¢
              M1 ≡ kI(y − Ln,ω y)0σ k∞ = O n−r−α ln n .    (1.162)
Поскольку kx∗n k2 = O (1) , n → ∞, и h ∈ W r+1 H α (по s), то функция
ψ(s) ≡ (ρhx∗n )(s) ∈ W r+1 H α равномерно относительно n. Поэтому
снова по оценке (1.161) получаем
                                          ¡           ¢
             M2 ≡ kI(ψ − Ln,ω ψ)0σ k∞ = O n−r−α ln n .         (1.163)
Для M3 из (1.159) имеем
             M3 = kI[ρh(x∗ − x∗n )]0σ k∞ = kρh1 (x∗ − x∗n )k∞ ,
где h1 (s, σ) = Iη [h0η (η, σ); s], а сингулярный оператор I = Iη применен
по переменной η. В силу условия а) теоремы и свойств сингулярных
интегральных операторов (см., напр., главы 1 и 2 монографии [66])
функция h1 (s, σ) удовлетворяет хотя бы условию Гëльдера с некото-
рым положительным показателем. Тогда из неравенства Гëльдера и
оценки (1.151а) находим
                                                   ¡      ¢
           M3 6 max |h1 (s, σ)| · kx∗ − x∗n k2 = O n−r−α .          (1.164)
                 s,σ

     В силу известных результатов (см., напр., [4, 45, 61])
                                µ          ¶
                 d                dx(σ)
                    I(x; s) = I         ; s , x ∈ W21 .            (1.165)
                 ds                dσ
Известно (см., напр., [75], с.223), что
               °            °
               °d           °
               ° I(Tn ; s)° 6 n kTn (s)k ,        Tn ∈ IHTn .      (1.166)
               ° ds         °           ∞
                             ∞

Теперь с помощью леммы 1.5 и соотношений (1.165), (1.166) для сла-
гаемого M4 из (1.159) находим
         M4 = kI(Ln,ω ϕ)0σ k∞ = k(ILn,ω ϕ)0s k∞ 6 n kLn,ω ϕk∞ =

                                     39

Страницы