Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 38 стр.

доказывается с помощью леммы 1.2 и соотношений (1.14)). Теперь,
применяя к элементам S −1 z ∗ и S −1 zN
                                      ∗
                                        метод доказательства оценки
                              0
(1.135), из соотношений (1.149 ) выводим (1.145).
     В теоремах 1.10 – 1.12 равномерная сходимость приближенных
методов решения с.и.у. (0.1) установлена как следствие сходимости в
среднем. Следует отметить, что полученные при этом равномерные
оценки погрешности (1.135) и (1.145) являются несколько грубыми;
это связано, как увидим ниже, с использованным выше методом их
доказательства. Суть дела продемонстрируем для наиболее употреби-
тельного в приложениях, но в то же время для наиболее трудного для
обоснования метода, а именно, для метода механических квадратур.
Имеет место следующая
     Теорема 1.14. Пусть выполнены условия: а) функции y(s) ∈
W H α и h(s, σ) ∈ W r+1 H α ( по каждой из переменных равномерно
  r+1

относительно другой из них), где r ∈ IR+ , 0 < α 6 1; б) с.и.у. (0.1)
однозначно разрешимо в L2 при любой правой части из W21 . Тогда при
всех n таких, что
                        qn = e0 n−r−α < 1,                   (1.150)
СЛАУ (1.78) и (1.79) однозначно разрешимы и приближенные реше-
ния (1.77) сходятся к точному решению x∗ (s) с.и.у. (0.1) в среднем
и равномерно со скоростями соответственно
    а) kx∗ − x∗n k2 6 e1 n−r−α ;   б) kx∗ − x∗n k∞ 6 e2 n−r−α ln n,   (1.151)
где ei – положительные постоянные, не зависящие от n.
     Следствие. В условиях теоремы для любых k ∈ N таких, что
1 6 k < r + α, справедливы оценки
                     а) k(x∗ − x∗n )(k) k2 = O (n−r−α+k );
                                                                      (1.152)
                         ∗
                  б) k(x −   x∗n )(k) k∞        −r−α+k
                                           = O (n        ln n).

     Доказательство. Из теоремы 1.1 и хода доказательства теорем
1.5 и 1.12 следует, что
    εn ≡ kA − An kXn →Y 6 (1 + π) {EnT s (h0s )∞ + EnT σ (h0σ )∞ },   (1.153)
где операторы An определены в (1.83), (1.84). Отсюда и из теоремы
1.1 и теоремы Джексона в C2π (см., напр., [75], с.305) находим (при
n > n0 )
                       ½ µ r+1       ¶     µ r+1       ¶¾
                           ∂    h            ∂    h         1
  qn ≡ 3 (1 + π) kA−1 k Hs    r+1
                                  ; α + Hσ      r+1
                                                    ;α     r+α
                                                               < 1,
                           ∂s               ∂σ            n

                                           37