Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 1.2. Для полной непрерывности регулярного опе-
ратора R : L
2
−→ C
1
2π
достаточно, если, напр., производная
h
0
s
(s, σ) ∈ C[0, 2π]
2
или, более общо, допускает представление
∂h (s, σ)
∂s
= h
0
(s, σ) ln
m
¯
¯
¯
¯
sin
σ − s
2
¯
¯
¯
¯
·
¯
¯
¯
¯
ctg
σ − s
2
¯
¯
¯
¯
γ
,
где m + 1 ∈ N, 0 6 γ <
1
2
, m + γ > 0, h
0
∈ C[0, 2π]
2
.
Это утверждение следует из [38, 40] и известного критерия ком-
пактности в пространстве непрерывных функций.
1.5. Метод механических квадратур. В этом и следующем
пунктах рассматривается приближенное решение слабо с.и.у. (0.1) ме-
тодом механических квадратур (кратко: м.м.к.).
Возьмем две системы равноотстоящих узлов
s
l
= s
l0
=
2lπ
2n + 1
, l = 0, 2n, (1.75)
s
kω
= s
k
+
ω
2n + 1
, k = 0, 2n, 0 6 ω = const 6 π. (1.76)
Приближенное решение с.и.у. (0.1) будем искать в виде полинома
x
∗
n
(s) =
n
X
k=−n
α
∗
k
e
iks
=
2
2n + 1
2n
X
l=0
x
∗
n
(s
l
)D
n
(s − s
l
), (1.77)
Неизвестные коэффициенты α
∗
k
, k = −n, n, и x
∗
n
(s
l
), l = 0, 2n, будем
определять как решения СЛАУ соответственно
n
X
k=−n
α
k
(
c
k
(g)e
iks
jω
+
1
2n + 1
n
X
l=−n
h(s
jω
, s
l
)e
iks
l
)
= y(s
jω
), j = 0, 2n,
(1.78)
1
2n + 1
2n
X
l=0
x
n
(s
l
)
(
ln 2 +
n
X
m=1
cos m(s
jω
− s
l
)
m
+ h(s
jω
, s
l
)
)
=
= y(s
jω
), j = 0, 2n. (1.79)
Отметим, что для получения СЛАУ (1.78) и (1.79) обе части с.и.у.
(0.1) приравниваем в узлах (1.76), вместо x(σ) подставляем x
n
(σ) из
(1.60), после чего интегралы S(x
n
; s
jω
) вычисляем точно по формулам
соответственно (1.41) и (1.61
0
), а интегралы R(x
n
; s
jω
) вычисляем при-
ближенно по квадратурной формуле левых прямоугольников с узлами
(1.75). Отметим также, что с помощью легко доказываемой формулы
α
k
=
1
2π
2π
Z
0
x
n
(σ)e
−ikσ
dσ =
1
2n + 1
2n
X
m=0
x
n
(s
m
)e
−iks
m
, k = −n, n, (1.80)
23
      Замечание 1.2. Для полной непрерывности регулярного опе-
                           1
ратора R : L2 −→ C2π            достаточно, если, напр., производная
 0                  2
hs (s, σ) ∈ C[0, 2π] или, более общо, допускает представление
                                       ¯          ¯ ¯            ¯γ
             ∂h(s, σ)                  ¯    σ − s ¯   ¯    σ − s ¯
                      = h0 (s, σ) lnm ¯¯sin       ¯ · ¯ctg
                                                  ¯   ¯
                                                                 ¯ ,
                 ∂s                           2              2 ¯
где m + 1 ∈ N, 0 6 γ < 12 , m + γ > 0, h0 ∈ C[0, 2π]2 .
    Это утверждение следует из [38, 40] и известного критерия ком-
пактности в пространстве непрерывных функций.
    1.5. Метод механических квадратур. В этом и следующем
пунктах рассматривается приближенное решение слабо с.и.у. (0.1) ме-
тодом механических квадратур (кратко: м.м.к.).
    Возьмем две системы равноотстоящих узлов
                              2lπ
                  sl = sl0 =        ,   l = 0, 2n,           (1.75)
                             2n + 1
                  ω
     skω = sk +        , k = 0, 2n, 0 6 ω = const 6 π.       (1.76)
                2n + 1
Приближенное решение с.и.у. (0.1) будем искать в виде полинома
                        n
                        X                             2n
                                              2 X ∗
        x∗n (s)   =            αk∗ eiks   =        xn (sl )Dn (s − sl ),   (1.77)
                                            2n + 1
                        k=−n                          l=0

Неизвестные коэффициенты αk∗ , k = −n, n, и x∗n (sl ), l = 0, 2n, будем
определять как решения СЛАУ соответственно
   n
         (                        n
                                                      )
  X                        1     X
      αk ck (g)eiksjω +              h(sjω , sl )eiksl = y(sjω ), j = 0, 2n,
                         2n + 1
 k=−n                           l=−n
                        (                                             ) (1.78)
             2n                   n
        1 X                     X    cos m(sjω − sl )
                xn (sl ) ln 2 +                         + h(sjω , sl ) =
     2n + 1                     m=1
                                            m
                  l=0
                              = y(sjω ), j = 0, 2n.                       (1.79)
     Отметим, что для получения СЛАУ (1.78) и (1.79) обе части с.и.у.
(0.1) приравниваем в узлах (1.76), вместо x(σ) подставляем xn (σ) из
(1.60), после чего интегралы S(xn ; sjω ) вычисляем точно по формулам
соответственно (1.41) и (1.610 ), а интегралы R(xn ; sjω ) вычисляем при-
ближенно по квадратурной формуле левых прямоугольников с узлами
(1.75). Отметим также, что с помощью легко доказываемой формулы
           Z2π                             2n
         1             −ikσ        1 X
 αk =          xn (σ)e      dσ =              xn (sm )e−iksm , k = −n, n, (1.80)
        2π                       2n + 1 m=0
           0

                                                 23

Страницы