Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
2
(
ln 2 +
n
X
m=1
1
m
cos m(s
j
− s
k
)
)
, j = −n, n. (1.61
0
)
Поэтому СЛАУ (1.61) принимает вид
1
2n + 1
n
X
k=−n
x
n
(s
k
)
(
ln 2 +
n
X
m=1
cos m(s
j
− s
k
) + 2
e
h
jk
)
=
= y(s
j
), j = −n, n, (1.62)
e
h
jk
=
1
2π
2π
Z
0
h(s
j
, σ)D
n
(σ − s
k
) dσ =
1
2π
2π
Z
0
h(s
j
, s
k
− σ)D
n
(σ) dσ.
Введем важные для дальнейшего изложения обозначения:
E
T
n
(x)
∞
= E
T
n
(x)
C
2π
= E
T
n
(x)
e
C
– наилучшее равномерное прибли-
жение функции x ∈ C
2π
тригонометрическими полиномами порядка
не выше n;
аналогично, E
T s
n
(ϕ)
∞
и E
T σ
n
(ϕ)
∞
– частные наилучшие равномер-
ные приближения функции ϕ(s, σ) ∈ C[0, 2π]
2
по переменным s и σ
соответственно;
L
n
– оператор Лагранжа, определяемый по формуле
L
n
(ψ; s) =
2
2n + 1
n
X
k=−n
ψ(s
k
)D
n
(s − s
k
), ψ ∈ C
2π
≡
e
C. (1.63)
Сходимость и оценку погрешности м.к. устанавливает
Теорема 1.4. Пусть существует y
0
(s) ∈ C
2π
, а ядро h(s, σ)
таково, что оператор R : L
2
−→ C
1
2π
вполне непрерывен. Тогда при
всех n > n
0
(n
0
определяется свойствами h(s, σ)) системы (1.58) и
(1.62) имеют единственные решения соответственно α
∗
k
и x
∗
n
(s
k
),
k = −n, n. Приближенные решения x
∗
n
(s) (т.е. (1.60) при α
k
= α
∗
k
,
x
n
(s
k
) = x
∗
n
(s
k
)) сходятся в среднем к точному решению x
∗
(s) со
скоростью
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
½
E
T
n
µ
d
ds
Sx
∗
∞
¾
= O
©
E
T
n
(x
∗
)
∞
ª
, (1.64)
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
½
E
T
n
µ
dy
ds
∞
+ E
T
n
µ
d
ds
Rx
∗
∞
¾
. (1.65)
Следствие. В условиях теоремы справедлива оценка
kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 (1 + π)E
T
n
(x
∗
)
∞
· k(S + L
n
R)
−1
k, S + L
n
R : L
2
−→ W
1
2
.
(1.66)
20
                 (           n
                                                 )
             1              X   1
         =           ln 2 +       cos m(sj − sk ) ,   j = −n, n.        (1.610 )
             2              m=1
                                m
Поэтому СЛАУ (1.61) принимает вид
             n
                        (        n
                                                          )
         1   X                  X
                xn (sk ) ln 2 +     cos m(sj − sk ) + 2e
                                                       hjk =
      2n + 1                    m=1
                     k=−n

                                = y(sj ),j = −n, n,                       (1.62)
              Z2π                               Z2π
   e        1                                 1
   hjk   =        h(sj , σ)Dn (σ − sk ) dσ =        h(sj , sk − σ)Dn (σ) dσ.
           2π                                2π
                 0                                0
    Введем важные для дальнейшего изложения обозначения:
    EnT (x)∞ = EnT (x)C2π = EnT (x)Ce – наилучшее равномерное прибли-
жение функции x ∈ C2π тригонометрическими полиномами порядка
не выше n;
    аналогично, EnT s (ϕ)∞ и EnT σ (ϕ)∞ – частные наилучшие равномер-
ные приближения функции ϕ(s, σ) ∈ C[0, 2π]2 по переменным s и σ
соответственно;
    Ln – оператор Лагранжа, определяемый по формуле
                       n
                       X
                  2                                             e
    Ln (ψ; s) =          ψ(sk )Dn (s − sk ),          ψ ∈ C2π ≡ C.       (1.63)
                2n + 1
                              k=−n

    Сходимость и оценку погрешности м.к. устанавливает
      Теорема 1.4. Пусть существует y 0 (s) ∈ C2π , а ядро h(s, σ)
                                         1
таково, что оператор R : L2 −→ C2π         вполне непрерывен. Тогда при
всех n > n0 (n0 определяется свойствами h(s, σ)) системы (1.58) и
(1.62) имеют единственные решения соответственно αk∗ и x∗n (sk ),
k = −n, n. Приближенные решения x∗n (s) (т.е. (1.60) при αk = αk∗ ,
xn (sk ) = x∗n (sk )) сходятся в среднем к точному решению x∗ (s) со
скоростью
                          ½ µ           ¶ ¾
          ∗     ∗           T   d     ∗
                                                 ©         ª
        kx − xn k2 = O En          Sx       = O EnT (x∗ )∞ ,      (1.64)
                                ds       ∞
                           ½ µ ¶              µ         ¶ ¾
            ∗     ∗           T  dy         T   d     ∗
         kx − xn k2 = O En               + En      Rx       .     (1.65)
                                 ds ∞           ds       ∞
    Следствие. В условиях теоремы справедлива оценка
kx∗ − x∗n k2 6 (1 + π)EnT (x∗ )∞ · k(S + Ln R)−1 k, S + Ln R : L2 −→ W21 .
                                                                    (1.66)

                                            20

Страницы