Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

kx
∗
−x
∗
n
k
2
6 E
T
n
(x
∗
)
2
°
°
E − A
−1
n
Φ
n
R
°
°
, E−A
−1
n
Φ
n
R : L
2
−→ L
2
, (1.45)
kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 2E
T
n
(x
∗
)
2
°
°
(S + Φ
n
R)
−1
°
°
, S + Φ
n
R : L
2
−→ W
1
2
. (1.46)
Если, кроме того, существует h
0
s
(s, σ) ∈ L
2
[0, 2π]
2
, то
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(y
0
)
2
+ E
T s
n
(h
0
s
)
2
ª
, (1.44
0
)
где Φ
n
– оператор Фурье n–го порядка:
Φ
n
(ϕ; s) =
n
X
k=−n
c
k
(ϕ)e
iks
, ϕ ∈ L
2
. (1.47)
Доказательство. Пусть X
n
= IH
T
n
⊂ X = L
2
и Y
n
= IH
T
n
⊂
Y = W
1
2
. Тогда СЛАУ (1.42) эквивалентна линейному операторному
уравнению
A
n
x
n
≡ Φ
n
Ax
n
= Φ
n
y (x
n
∈ X
n
, Φ
n
y ∈ Y
n
).
Ясно, что Φ
2
n
= Φ
n
и Φ
n
: W
1
2
−→ Y
n
. Поэтому Φ
n
Sx
n
= Sx
n
для
любого x
n
∈ X
n
и СЛАУ (1.42) эквивалентна операторному уравнению
A
n
x
n
≡ Sx
n
+ Φ
n
Rx
n
= Φ
n
y (x
n
∈ X
n
, Φ
n
y ∈ Y
n
), (1.48)
т.е. уравнению (1.28) при P
n
= Φ
n
, X = L
2
, Y = W
1
2
.
Из уравнений (1.18) и (1.48) для любого x
n
∈ X
n
находим
kAx
n
− A
n
x
n
k
Y
= kRx
n
− Φ
n
Rx
n
k
Y
= kRz
n
− Φ
n
Rz
n
k · kx
n
k
X
6
6 kx
n
k
X
{sup kϕ − Φ
n
ϕk
Y
: ϕ ∈ RШ }, z
n
=
x
n
kx
n
k
, (1.49)
где Ш = Ш(0, 1) – единичный шар пространства L
2
[0, 2π].
Для любого ψ ∈ W
1
2
справедливо тождество
d
ds
Φ
n
(ψ(σ); s) = Φ
n
µ
dψ(σ)
dσ
; s
. (1.50)
Тогда для ψ ∈ W
1
2
с учетом kΦ
n
k = 1, Φ
n
: L
2
−→ L
2
, находим
1)
kΦ
n
ψk
1;2
= kΦ
n
ψk
2
+ k
d
ds
Φ
n
ψk
2
6 kψk
2
+ kψ
0
k
2
= kψk
1;2
,
т.е. kΦ
n
k 6 1, Φ
n
: W
1
2
−→ W
1
2
. А так как Φ
2
n
= Φ
n
, то и
kΦ
n
k = 1, Φ
n
: W
1
2
−→ W
1
2
, n + 1 ∈ N. (1.51)
1)
Напомним, что везде k · k
1;2
означает норму в W
1
2
[0, 2π].
17
                          °             °
 kx∗ −x∗n k2 6 EnT (x∗ )2 °E − A−1
                                n  Φn R ° , E −A−1
                                                n Φn R : L2 −→ L2 , (1.45)

                            °             °
 kx∗ − x∗n k2 6 2EnT (x∗ )2 °(S + Φn R)−1 ° , S + Φn R : L2 −→ W21 . (1.46)
Если, кроме того, существует h0s (s, σ) ∈ L2 [0, 2π]2 , то
                              ©                            ª
              kx∗ − x∗n k2 = O EnT (y 0 )2 + EnT s (h0 s )2 ,                (1.440 )
где Φn – оператор Фурье n–го порядка:
                                    n
                                    X
                      Φn (ϕ; s) =          ck (ϕ)eiks ,    ϕ ∈ L2 .          (1.47)
                                    k=−n


    Доказательство. Пусть Xn = IHTn ⊂ X = L2 и Yn = IHTn ⊂
Y = W21 . Тогда СЛАУ (1.42) эквивалентна линейному операторному
уравнению
                An xn ≡ Φn Axn = Φn y             (xn ∈ Xn , Φn y ∈ Yn ).
Ясно, что Φ2n = Φn и Φn : W21 −→ Yn . Поэтому Φn Sxn = Sxn для
любого xn ∈ Xn и СЛАУ (1.42) эквивалентна операторному уравнению
         An xn ≡ Sxn + Φn Rxn = Φn y (xn ∈ Xn , Φn y ∈ Yn ),                 (1.48)
т.е. уравнению (1.28) при Pn = Φn , X = L2 , Y = W21 .
      Из уравнений (1.18) и (1.48) для любого xn ∈ Xn находим
   kAxn − An xn kY = kRxn − Φn Rxn kY = kRzn − Φn Rzn k · kxn kX 6
                                                        xn
    6 kxn kX {sup kϕ − Φn ϕkY : ϕ ∈ RШ } ,        zn =       ,  (1.49)
                                                       kxn k
где Ш = Ш(0, 1) – единичный шар пространства L2 [0, 2π].
    Для любого ψ ∈ W21 справедливо тождество
                                        µ         ¶
                   d                      dψ(σ)
                      Φn (ψ(σ); s) = Φn         ;s .            (1.50)
                   ds                      dσ
Тогда для ψ ∈ W21 с учетом kΦn k = 1, Φn : L2 −→ L2 , находим                1)

                                     d
          kΦn ψk1;2 = kΦn ψk2 + k       Φn ψk2 6 kψk2 + kψ 0 k2 = kψk1;2 ,
                                     ds
т.е. kΦn k 6 1, Φn : W21 −→ W21 . А так как Φ2n = Φn , то и
                  kΦn k = 1,     Φn : W21 −→ W21 ,         n + 1 ∈ N.        (1.51)
 1)   Напомним, что везде k · k1;2 означает норму в W21 [0, 2π].


                                             17

Страницы