Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 16 стр.

    Следствие. В условиях теоремы операторы An : Xn −→ Yn ли-
нейно обратимы и обратные операторы A−1
                                     n : Yn −→ Xn ограничены
по норме в совокупности:
            kA−1      −1
              n k 6 kA k(1 − qn )
                                 −1
                                    = O (1) ,          n → ∞.          (1.35)

    Доказательство этой теоремы с учетом сказанного в разделе 1.1
следует из теоремы 7 гл. I монографии [25] (см. также ниже §5).
    Очевидно, что для уравнения (1.28) теорема 1.1 и ее следствие
остаются в силе. Однако в этом случае из теорем 6 и 14 гл. I моногра-
фии [25] и леммы 1.2 следует более общий результат:
    Теорема 1.2. Справедливы утверждения:    а) если оператор
A = S + R : X −→ Y линейно обратим, то при n таких, что
      rn ≡ kA−1 k kR − Pn Rk < 1,          R − Pn R : Xn −→ Y,         (1.36)
операторы An = S + Pn R : Xn −→ Yn также линейно обратимы и
                              kA−1 k
             kx∗ − x∗n kX 6          [ ky − Pn ykY + rn kykY ] ,       (1.310 )
                              1 − rn
   kx∗ − x∗n kX 6 kE − A−1           ∗
                        n Pn AkX→X kx − x̃n kX ,        ∀ x̃n ∈ Xn ,   (1.37)
где x∗ = A−1 y, x∗n = A−1
                       n Pn y, а E – единичный оператор; б) если с.и.у.
(0.1) имеет решение x∗ при данной правой части y ∈ Y и операторы
An = S + Pn R : Xn −→ Yn линейно обратимы (напр., в условиях
пункта а) ), то при Pn2 = Pn для погрешности приближенного реше-
ния справедливы соотношения
         kx∗ − x∗n kX = k(E − A−1       ∗   −1    ∗
                               n Pn R)(x − S Pn Sx )kX 6

       6 kE − A−1             −1          ∗       ∗
               n Pn RkX→X · kS kY →X · kSx − Pn Sx kY ;                (1.38)

 kx∗ − x∗n kX 6 kE − A−1             ∗      ∗        −1
                      n Pn RkX→X · kx − Pn x kX при S Pn S = Pn .
                                                           (1.380 )
    Следствие. Если оператор A = S + R : X −→ Y линейно
обратим и
 ε0n ≡ kR − Pn Rk → 0, n → ∞,        R − Pn R : X −→ Y, Pn2 = Pn , (1.39)
то при n таких, что qn0 ≡ kA−1 kε0n < 1, каждый из операторов An =
= S +Pn R : X −→ Y и An = S +Pn R : Xn −→ Yn линейно обратим и
для погрешности приближенного решения справедливы соотношения
                          °                            °
           kx∗ − x∗n kX = °(S + Pn R)−1 (Sx∗ − Pn Sx∗ )°X 6

                                      15