Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[77]); в этом случае обоснование численных методов не представляет
особых трудностей, т.к. уравнения (1.18
0
) и (1.18
00
) являются обычны-
ми интегральными уравнениями Фредгольма II-рода. Тем не менее
для многих приближенных методов, особенно для методов проекци-
онного типа, непосредственное численное решение с.и.у. (0.1), т.е. не
приводя его к уравнению II -рода, является более эффективным со
многих точек зрения. Ниже мы именно так и будем поступать как от-
носительно с.и.у. (0.1), так и относительно других с.и.у. Однако в этом
случае обоснование численных методов будет представлять существен-
ную трудность, которая в ряде случаев до сих пор не преодолена.
Этот раздел закончим доказательством устойчивости решений сла-
бо с.и.у. Наряду с (0.1) рассмотрим также с.и.у. вида
A
ε
x
ε
≡ −
1
2π
2π
Z
0
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s − σ
2
¯
¯
¯
¯
x
ε
(σ) dσ +
1
2π
2π
Z
0
h
ε
(s, σ)x
ε
(σ) dσ = y
ε
(s),
(1.19)
где непрерывные функции h
ε
и y
ε
в определенном смысле аппрокси-
мируют функции соответственно h(s, σ) и y(s) из с.и.у. (0.1), а ε –
положительный параметр. Имеет место следующая
Лемма 1.4. Пусть с.и.у. (0.1) имеет единственное решение x
∗
(s) ∈
X при любой правой части y(s) ∈ Y и выполнены условия:
а) при X = L
2
, Y = W
1
2
1
X
i=0
°
°
°
y
(i)
− y
(i)
ε
°
°
°
L
2
[0,2π]
< ε,
1
X
i=0
kh
(i)
s
− h
(i)
εs
k
L
2
[0,2π]
2
< ε;
б) при X = H
β
, Y = X
1
= H
1+β
(0 < β < 1)
1
X
i=0
°
°
°
y
(i)
− y
(i)
ε
°
°
°
β
< ε,
1
X
i=0
kh
(i)
s
− h
(i)
εs
k
H
β
⊗C
2π
< ε,
где
kϕ(s, σ)k
L
2
[0,2π]
2
=
1
4π
2
2π
Z
0
2π
Z
0
|ϕ(s, σ)|
2
ds dσ
1
2
,
kϕ(s, σ)k
H
β
⊗C
2π
= max
s,σ
|ϕ(s, σ)| + sup
s
0
,s
00
,σ
s
0
6=s
00
|ϕ(s
0
, σ) − ϕ(s
00
, σ)|
|s
0
− s
00
|
β
.
Тогда существует такое ε
0
> 0, что для всех ε ∈ (0, ε
0
) с.и.у.
(1.19) также имеет единственное решение x
∗
ε
(s) ∈ X, которое при
11
[77]); в этом случае обоснование численных методов не представляет
особых трудностей, т.к. уравнения (1.180 ) и (1.1800 ) являются обычны-
ми интегральными уравнениями Фредгольма II-рода. Тем не менее
для многих приближенных методов, особенно для методов проекци-
онного типа, непосредственное численное решение с.и.у. (0.1), т.е. не
приводя его к уравнению II -рода, является более эффективным со
многих точек зрения. Ниже мы именно так и будем поступать как от-
носительно с.и.у. (0.1), так и относительно других с.и.у. Однако в этом
случае обоснование численных методов будет представлять существен-
ную трудность, которая в ряде случаев до сих пор не преодолена.
      Этот раздел закончим доказательством устойчивости решений сла-
бо с.и.у. Наряду с (0.1) рассмотрим также с.и.у. вида
                 Z2π       ¯      ¯                Z2π
             1             ¯ s − σ¯
Aε xε ≡ −              ln ¯¯sin   ¯ xε (σ) dσ + 1      hε (s, σ)xε (σ) dσ = yε (s),
            2π                  2 ¯             2π
                 0                                                               0
                                                              (1.19)
где непрерывные функции hε и yε в определенном смысле аппрокси-
мируют функции соответственно h(s, σ) и y(s) из с.и.у. (0.1), а ε –
положительный параметр. Имеет место следующая
    Лемма 1.4. Пусть с.и.у. (0.1) имеет единственное решение x∗ (s) ∈
X при любой правой части y(s) ∈ Y и выполнены условия:
    а) при X = L2 , Y = W21
         1 °
         X            °                                     1
                                                            X
           ° (i)  (i) °
           °y − y ε °                               < ε,              kh(i)  (i)
                                                                        s − hεs kL2 [0,2π]2 < ε;
                                   L2 [0,2π]
         i=0                                                    i=0

      б) при X = H β , Y = X 1 = H 1+β (0 < β < 1)
            1 °
            X           °                                  1
                                                           X
              ° (i) (i) °
              °y − yε ° < ε,                                      kh(i)  (i)
                                                                    s − hεs kH β ⊗C        < ε,
                                                                                      2π
                                              β
            i=0                                            i=0

где                                                                            12
                                                     1 Z2πZ2π                 
                                                                        2
               kϕ(s, σ)kL                         =            |ϕ(s, σ)| ds dσ      ,
                               2 [0,2π]
                                          2
                                                     4π 2                     
                                                            0 0
                                                            |ϕ(s0 , σ) − ϕ(s00 , σ)|
       kϕ(s, σ)kH β ⊗C         = max |ϕ(s, σ)| + sup                                 .
                          2π      s,σ            s0 ,s00 ,σ        |s0 − s00 |β
                                                                      s0 6=s00

     Тогда существует такое ε0 > 0, что для всех ε ∈ (0, ε0 ) с.и.у.
(1.19) также имеет единственное решение x∗ε (s) ∈ X, которое при

                                                           11

Страницы