Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Y
∗
X E E
n
(3.1), (3.2), (3.2
◦
), (3.12),
d
n
(HX
∗
) ³ V
n
(E) 6 V (E; H
◦
n
), X
∗
= K
−1
Y
∗
, (3.13)
(3.2
◦
),
V (E; H
◦
n
) ³ d
n
(HX
∗
), sup
x∈X
∗
kHx − H
◦
n
xk ³ d
n
(HX
∗
), (3.14)
E.
H
n
= P
n
H, H
◦
n
= P
◦
n
H P
n
, P
◦
n
∈ L(X)
n ∈ N.
3.6
V
n
(E) ³ λ
n
(HX
∗
), n → ∞,
(3.2
◦
) H
◦
n
= P
◦
n
H
sup
x∈X
∗
kHx − P
◦
n
Hxk ³ λ
n
(HX
∗
),
E
E E
n
(3.1) (3.2)
V
n
(E) = s
n
(K
−1
H) = s
n
(HK
−1
) ³ s
n
(H),
(3.2
◦
),
V (E; H
◦
n
) = , ∼ , ³ s
n
(K
−1
H),
E 3.
V (E; H
◦
n
) ³ s
n
(H), n → ∞,
(3.2
◦
) 3.
X
H
X
à Y ∗  êîìïàêò â X . Òîãäà äëÿ êëàññîâ E è En , îïðåäåëåÿåìûõ ñîîò-
íîøåíèÿìè (3.1), (3.2), (3.2◦ ), (3.12), ñïðàâåäëèâû îöåíêè

              dn (HX ∗ ) ³ Vn (E) 6 V (E; Hn◦ ),   X ∗ = K −1 Y ∗ ,   (3.13)

è ìåòîä (3.2◦ ), óäîâëåòîðÿþùèé ëþáîìó èç óñëîâèé

      V (E; Hn◦ ) ³ dn (HX ∗ ),   sup kHx − Hn◦ xk ³ dn (HX ∗ ),      (3.14)
                                  x∈X ∗

ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó íà êëàññå E.

     Ñëåäñòâèå. Ïóñòü Hn = Pn H, Hn◦ = Pn◦ H , ãäå Pn , Pn◦ ∈ L(X)
 ëèíåéíûå îïåðàòîðû ðàçìåðíîñòè íå âûøå n ∈ N. Òîãäà â óñëîâèÿõ
òåîðåìû 3.6 ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

                        Vn (E) ³ λn (HX ∗ ),    n → ∞,

è ìåòîä (3.2◦ ) ñ îïåðàòîðîì Hn◦ = Pn◦ H , óäîâëåòîðÿþùèì óñëîâèþ

                      sup kHx − Pn◦ Hxk ³ λn (HX ∗ ),
                      x∈X ∗

îïòèìàëåí ïî ïîðÿäêó íà êëàññå E .
    Ïðèâåäåííûå âûøå òåîðåìû äîïîëíÿåò ñëåäóþùàÿ îáùàÿ

     Òåîðåìà 3.7. Äëÿ êëàññîâ E è En îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìûõ óðàâíå-
íèé (3.1) è (3.2) èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ

                Vn (E) = sn (K −1 H) = sn (HK −1 ) ³ sn (H),

è ìåòîä (3.2◦ ), óäîâëåòîðÿþùèé óñëîâèÿì ñîîòâåòñòâåííî

                       V (E; Hn◦ ) = , ∼ , ³ sn (K −1 H),

îïòèìàëåí íà êëàññå E â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 3.

     Ñëåäñòâèå. Åñëè
                        V (E; Hn◦ ) ³ sn (H),   n → ∞,

òî ìåòîä (3.2◦ ) îïòèìàëåí ïî ïîðÿäêó â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 3.
     Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ çàäàíèÿ ïðîñòðàíñòâà X
è îïåðàòîðà H ïðèâåäåííûå âûøå îáùèå òåîðåìû çíà÷èòåëüíî óïðîùà-
þòñÿ è óñèëèâàþòñÿ. Íàïðèìåð, åñëè X  ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî

Страницы