Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H ∈ H
kKk 6 c
0
< ∞, kK
−1
k 6 c
1
< ∞ (c
0
, c
1
> 1), (3.4)
c
0
c
1
E
Y
∗
= S(0, 1) ⊂ X
s
n
(H) = inf
H
n
∈H
n
kH − H
n
k, s
n
(H) = sup
H∈H
s
n
(H) (3.5)
n
H
H; d
n
(F ) = d
n
(F, X) λ
n
(F ) = λ
n
(F, X)
n n
F ⊂ X
X.
H s
n
(H) → 0
n → ∞ E E
n
(3.1)
(3.4),
d
n
(Z
∗
) 6 V
n
(E) ³ s
n
(H), Z
∗
≡ {z
∗
}, (3.6)
z
∗
∈ X
Kz ≡ z − Hz = Hy (z ∈ X, y ∈ S(0, 1), H ∈ H). (3.1
0
)
(3.2
◦
),
sup
H∈H
kH − H
◦
n
k ³ s
n
(H), sup
H∈H
kH − H
◦
n
k ³ d
n
(Z
∗
), (3.7)
E
(3.2
◦
)
V (E; H
◦
n
) = d
n
(Z
∗
), V (E; H
◦
n
) ∼ d
n
(Z
∗
),
E
H
H
ïðè ýòîì áóäåì ïðåäïîëàãàòü òàêæå, ÷òî äëÿ ëþáûõ H ∈ H

             kKk 6 c0 < ∞,        kK −1 k 6 c1 < ∞ (c0 , c1 > 1),        (3.4)

ãäå c0 è c1  íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå (îáùèå äëÿ âñåãî êëàññà E ), à
Y ∗ = S(0, 1) ⊂ X  åäèíè÷íûé øàð ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
      Âñþäó äàëåå îáîçíà÷èì ÷åðåç

            sn (H) = inf       kH − Hn k,      sn (H) = sup sn (H)       (3.5)
                      Hn ∈Hn                              H∈H

n -å àïïðîêñèìàöèîííûå ÷èñëà (ñì., íàïð., [1], [72], [77]) ôèêñèðîâàííîãî
âïîëíå íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà H è ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâà îïåðàòî-
ðîâ H; ÷åðåç dn (F ) = dn (F, X) è λn (F ) = λn (F, X) áóäåì îáîçíà÷àòü,
êàê è âûøå, ñîîòâåòñòâåííî n -é ïîïåðå÷íèê Êîëìîãîðîâà è n -é ëèíåéíûé
ïîïåðå÷íèê êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà F ⊂ X â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàí-
ñòâå X.

     Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü ìíîæåñòâî H òàêîâî, ÷òî sn (H) → 0 ïðè
n → ∞ . Òîãäà äëÿ êëàññîâ E è En , îïðåäåëåííûõ ñîîòíîøåíèÿìè (3.1) 
(3.4), ñïðàâåäëèâû îöåíêè

                 dn (Z ∗ ) 6 Vn (E) ³ sn (H),      Z ∗ ≡ {z ∗ },         (3.6)

ãäå z ∗ ∈ X åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

           Kz ≡ z − Hz = Hy           (z ∈ X, y ∈ S(0, 1), H ∈ H).       (3.10 )

Ïðè ýòîì ìåòîä (3.2◦ ), óäîâëåòâîðÿþùèé ëþáîìó èç óñëîâèé

           sup kH − Hn◦ k ³ sn (H),        sup kH − Hn◦ k ³ dn (Z ∗ ),   (3.7)
          H∈H                              H∈H

ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó íà êëàññå E .

     Ñëåäñòâèå. Ìåòîä (3.2◦ ) , óäîâëåòâîðÿþùèé ëþáîìó èç óñëîâèé
                V (E; Hn◦ ) = dn (Z ∗ ),   V (E; Hn◦ ) ∼ dn (Z ∗ ),

ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëüíûì è àñèìïòîòè÷åñêè îïòè-
ìàëüíûì.
     Òåïåðü íåñêîëüêî ñóçèì êëàññ E óðàâíåíèé (3.1), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî
ìíîæåñòâî H ñîñòîèò èç îäíîãî ôèêñèðîâàííîãî âïîëíå íåïðåðûâíîãî
îïåðàòîðà H .

Страницы