Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
n
x
n
≡ x − H
n
x = y (x, y ∈ X, H
n
∈ L(X) ), (3.2)
Y
∗
H
n
= {H
n
} ⊂ L(X) n
n
x
∗
∈ X x
∗
n
∈ X
n ∈ N
3
E
n
K
◦
n
x ≡ x − H
◦
n
x = y (x, y ∈ X, H
◦
n
∈ H
n
), (3.2
◦
)
x
◦
n
∈ X
x
∗
∈ X E
V
n
(E) = inf
H
n
∈H
n
sup
H∈H,y∈Y
∗
kx
∗
− x
∗
n
k
X
= inf
e
n
∈E
n
sup
e∈E
kx
∗
− x
∗
n
k
X
,
E
n
E
V (E; H
◦
n
) = V
n
(E), V (E; H
◦
n
) ∼ V
n
(E), V (E; H
◦
n
) ³ V
n
(E),
V (E; H
◦
n
) = sup
H∈H,y∈Y
∗
kx
∗
− x
◦
n
k, x
◦
n
= (E − H
◦
n
)
−1
y.
(3.2
◦
)
E
(3.1).
H
H
n
∈ H
n
H ∈ H
kH − H
n
k → 0, n → ∞; (3.3)
îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé âèäà

             Kn xn ≡ x − Hn x = y (x, y ∈ X, Hn ∈ L(X) ),                      (3.2)
îïðåäåëÿåìûé êëàññîì Y ∗ è íåêîòîðûì êëàññîì êîíå÷íîìåðíûõ îïåðà-
òîðîâ Hn = {Hn } ⊂ L(X) ðàçìåðíîñòè íå âûøå n .
     Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.2) ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ ñèñòåì
ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïîðÿäêà íå âûøå n , ÷òî ÿâëÿåòñÿ
çíà÷èòåëüíî áîëåå ïðîñòîé çàäà÷åé, ÷åì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.1).
     Ðåøåíèå x∗ ∈ X óðàâíåíèÿ (3.1) çàìåíèì ðåøåíèÿìè x∗n ∈ X óðàâ-
íåíèé (3.2) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì n ∈ N . Ïîñêîëüêó äîïóñêàåìàÿ
ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü çàâèñèò îò ñïîñîáà âûáîðà óðàâíåíèé (3.2), òî åñòå-
ñòâåííî ïîïûòàòüñÿ, ÷òîáû îíà áûëà ìèíèìàëüíîé â çàâèñèìîñòè îò óêà-
çàííîãî âûáîðà; äðóãèìè ñëîâàìè, íàøà çàäà÷à (çàäà÷à 3 ) ñîñòîèò â òîì,
÷òîáû â êëàññå En íàéòè òàêîå óðàâíåíèå (êðàòêî "ìåòîä") âèäà (3.2), à
èìåííî,
                Kn◦ x ≡ x − Hn◦ x = y (x, y ∈ X, Hn◦ ∈ Hn ),                  (3.2◦ )
ðåøåíèå x◦n ∈ X êîòîðîãî â êàêîìëèáî ñìûñëå íàèëó÷øèì îáðàçîì àï-
ïðîêñèìèðîâàëî áû ðåøåíèå x∗ ∈ X óðàâíåíèÿ (3.1) èç êëàññà E . Äëÿ
ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íàì ïîíàäîáèòñÿ âåëè÷èíà

       Vn (E) = inf         sup       kx∗ − x∗n kX = inf sup kx∗ − x∗n kX ,
                Hn ∈Hn H∈H,y∈Y ∗                       en ∈En e∈E

ÿâëÿþùàÿñÿ îïòèìàëüíîé îöåíêîé ïîãðåøíîñòè êëàññà En ìåòîäîâ (3.2)
íà êëàññå E óðàâíåíèé (3.1). Ñëåäóÿ ðàáîòàì [10], [24], [26], [27], ââåäåì
     Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
        V (E; Hn◦ ) = Vn (E), V (E; Hn◦ ) ∼ Vn (E), V (E; Hn◦ ) ³ Vn (E),
ãäå
          V (E; Hn◦ ) =     sup       kx∗ − x◦n k,    x◦n = (E − Hn◦ )−1 y.
                          H∈H,y∈Y ∗
Òîãäà ìåòîä (3.2◦ ) íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëüíûì,
àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûì, îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó íà êëàññå E
óðàâíåíèé (3.1).
     Íèæå áóäåì ðàññìàòðèâàòü, êàê ïðàâèëî, ñëó÷àé, êîãäà êëàññ H
ñîñòîèò èç âïîëíå íåïðåðûâíûõ îïåðàòîðîâ, à îïåðàòîðû Hn ∈ Hn àï-
ïðîêñèìèðóþò îïåðàòîðû H ∈ H â òîì ñìûñëå, ÷òî

                           kH − Hn k → 0,            n → ∞;                    (3.3)

Страницы