Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
E
K = K, K ∈
L(X, Y ) n
s
n
(K
−1
) K
−1
∈ L(Y, X)
K ∈ L(X, Y )
X
D(K)
K
−1
∈
L(Y, X)
Y
∗
= S(0, 1)
Y
V
n
(E) = s
n
(K
−1
), n ∈ N,
sup
y∈S(0,1)
kx
∗
− x
◦
n
k = , ∼ , ³ s
n
(K
−1
)
(1.2
◦
) x
◦
n
= K
◦
n
−1
y
◦
n
1.
X = Y ≡ H
K
H D(K) = H
K
−1
H;
Y
∗
= S(0, 1), X
∗
= K
−1
Y
∗
.
n ∈ N
V
n
(E) = s
n
(K
−1
) = d
n
(X
∗
, H) = λ
−1
n+1
(K),
λ
i
(K) K
e
i
1.5
◦
          § 3. Àïïðîêñèìàöèîííûå ÷èñëà îïåðàòîðîâ è
              îïòèìèçàöèÿ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ

     Òåïåðü íåñêîëüêî ñóçèì êëàññ E ðåøàåìûõ óðàâíåíèé (1.1), ñ÷èòàÿ,
÷òî êëàññ K = K, ò. å. ñîñòîèò èç îäíîãî ôèêñèðîâàííîãî îïåðàòîðà K ∈
L(X, Y ) . Çäåñü ñóùåñòâåííóþ ðîëü áóäåò èãðàòü n -å àïïðîêñèìàöèîííîå
÷èñëî sn (K −1 ) (ñì., íàïð., [1], [77]) îïåðàòîðà K −1 ∈ L(Y, X) .

     Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     a) K ∈ L(X, Y )  ôèêñèðîâàííûé ëèíåéíûé (âîîáùå ãîâîðÿ,
íåîãðàíè÷åííûé) îïåðàòîð ñî âñþäó ïëîòíîé â X îáëàñòüþ îïðåäåëå-
íèÿ D(K) ;
     á) ñóùåñòâóåò âïîëíå íåïðåðûâíûé îáðàòíûé îïåðàòîð K −1 ∈
L(Y, X) ;
     â) Y ∗ = S(0, 1)  øàð åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå
êîîðäèíàò ïðîñòðàíñòâà Y .
     Òîãäà
                       Vn (E) = sn (K −1 ),   n ∈ N,
è ïðè âûïîëíåíèè îäíîãî èç óñëîâèé

                    sup kx∗ − x◦n k = , ∼ , ³ sn (K −1 )
                  y∈S(0,1)

ïðÿìîé ìåòîä (1.2◦ ) ñ ðåøåíèåì x◦n = Kn◦ −1 yn◦ ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì
â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.

     Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     a) X = Y ≡ H  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî;
     á) K  ôèêñèðîâàííûé ñàìîñîïðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíî îïðåäå-
ëåííûé îïåðàòîð â H , ïðè÷åì D(K) = H ;
     â) K −1  âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîð â H;
     ã) Y ∗ = S(0, 1), X ∗ = K −1 Y ∗ .
     Òîãäà äëÿ ëþáûõ n ∈ N ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

               Vn (E) = sn (K −1 ) = dn (X ∗ , H) = λ−1
                                                     n+1 (K),

ãäå λi (K)  ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà K , ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå
âîçðàñòàíèÿ, ei  ñîîòâåòñòâóþùèå èì îðòîíîðìàëüíûå ñîáñòâåííûå
ýëåìåíòû. Ïðè ýòîì îïòèìàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ãàëåðêèíà ( 1.5◦ ) ñ

Страницы