Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K : X −→ Y X Y
T : X −→ Y
P
◦
n
−→ E Y P
◦
n
∈ P
(2)
n
(Y, Y
n
)
(2.4) (2.5),
2.9.
K : X −→ Y X Y
ky − P
◦
n
yk
Y
→ 0, kT − P
◦
n
T k
X
→
Y
→ 0,
kT G
−1
− T G
−1
P
◦
n
k
Y →Y
→ 0, n → ∞, P
◦
n
∈ P
(2)
n
(Y, Y
n
).
(2.4) (2.5),
2.9.
X = Y, X
n
= Y
n
, G = E;
K = E + T
X;
kT − P
◦
n
T k → 0, kT − T P
◦
n
k → 0, ky − P
◦
n
yk → 0.
kx
∗
− P
◦
n
x
∗
k ∼ E
n
(x
∗
), P
◦
n
∈ P
(2)
n
(X, X
n
),
U
n
∼ V
n
∼ E
n
(x
∗
),
(2.3
◦
)
1 2.
2.11.
inf
P
n
∈P
(2)
n
(X,X
n
)
kx
∗
− P
n
x
∗
k ∼ kx
∗
− P
◦
n
x
∗
k,
U
n
∼ kx
∗
− P
n
◦
x
∗
k,
     Òåîðåìà 2.10. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ :
     a) îïåðàòîð K : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèì, ãäå X è Y 
ðåôëåêñèâíûå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà;
      á) T : X −→ Y  âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîð;
                                          (2)
      â) Pn◦ −→ E ñèëüíî â Y , ãäå Pn◦ ∈ Pn (Y, Yn ) .
     Åñëè, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî óñëîâèå (2.4) èëè æå (2.5), òî ñïðà-
âåäëèâî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.9.

     Òåîðåìà 2.11. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ :
     a) îïåðàòîð K : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèì, ãäå X è Y 
áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà;

     á)   ky − Pn◦ ykY → 0,             kT − Pn◦ T kX→Y → 0,

     kT G−1 − T G−1 Pn◦ kY →Y → 0,         n → ∞,     Pn◦ ∈ Pn(2) (Y, Yn ).
     Åñëè, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî óñëîâèå (2.4) èëè æå (2.5), òî ñïðà-
âåäëèâî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.9.

     Ñëåäñòâèå. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     a) X = Y, Xn = Yn , G = E;
     á) îïåðàòîð K = E + T íåïðåðûâíî îáðàòèì â áàíàõîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå X;
     â) kT − Pn◦ T k → 0, kT − T Pn◦ k → 0, ky − Pn◦ yk → 0.
     Åñëè, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî óñëîâèå

                kx∗ − Pn◦ x∗ k ∼ En (x∗ ), Pn◦ ∈ Pn(2) (X, Xn ),

òî
                               Un ∼ Vn ∼ En (x∗ ),
è ïðîåêöèîííûé ìåòîä (2.3◦ ) àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí â ñìûñëå ëþ-
áîãî èç îïðåäåëåíèé 1 è 2.

     Òåîðåìà 2.12. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ a)  â) ñëåäñòâèÿ òåî-
ðåìû 2.11. Åñëè

                       inf         kx∗ − Pn x∗ k ∼ kx∗ − Pn◦ x∗ k,
                       (2)
                  Pn ∈Pn (X,Xn )

òî
                              Un ∼ kx∗ − Pn ◦ x∗ k,

Страницы