Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(2.3
◦
) 2.
T
X, P
◦
n
X X
n
= X
◦
n
,
V
n
∼ U
n
∼ E
n
(x
∗
),
(2.3
◦
)
1 2.
2.4.
§
P
◦
n
X = Y X
◦
n
= Y
◦
n
X
◦
n
π
n
(X
∗
, X)
x ∈ X m M ∈ R
+
sup
K∈K
(Kx, x) > m kxk
2
, sup
K∈K
kKk 6 M < ∞.
α (1.1) (1.5
◦
) n ∈ N
X X
◦
n
,
sup
K∈K
kK
−1
k 6
1
m
, sup
K∈K
kK
◦
n
−1
k 6
1
m
< ∞, n ∈ N;
β
d
n
(X
∗
, X) 6 V
n
(E) 6 U
n
(E) 6 sup
x
∗
∈X
∗
kx
∗
− x
◦
n
k
X
6
6
M
m
d
n
(X
∗
, X), n ∈ N, x
◦
n
= (P
◦
n
K)
−1
P
◦
n
y,
(1.5
◦
)
1 2.
è ìåòîä (2.3◦ ) àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.

     Ñëåäñòâèå. Åñëè T  âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîð â ãèëüáåðòî-
âîì ïðîñòðàíñòâå X, à Pn◦  îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ
X íà Xn = Xn◦ , òî
                         Vn ∼ Un ∼ En (x∗ ),
è ìåòîä (2.3◦ ) àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí â ñìûñëå ëþáîãî èç îïðåäå-
ëåíèé 1 è 2.


            2.4. Óðàâíåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè îïåðàòîðàìè

      ïðèëîæåíèÿõ (ñì., íàïð., § 11 ãë. I è áèáëèîãðàôèþ ê íåé) ÷àñòî
âñòðå÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè îïåðàòîðàìè â ãèëüáåðòîâûõ
ïðîñòðàíñòâàõ.  ýòîì ñëó÷àå ïðèâåäåííûå âûøå òåîðåìû îá îïòèìèçà-
öèè ïðÿìûõ è ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ äîïîëíÿåò ñëåäóþùàÿ

     Òåîðåìà 2.13. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ :
      a) Pn◦  îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ãèëüáåðòîâà
ïðîñòðàíñòâà X = Y íà ïîäïðîñòðàíñòâî Xn◦ = Yn◦ ;
      á) Xn◦  õîòÿ áû ýêñòðåìàëüíîå ïî ïîðÿäêó ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ
πn (X ∗ , X) ;
      â) äëÿ âñåõ x ∈ X è íåêîòîðûõ m è M ∈ R+

             sup (Kx, x) > m kxk2 ,     sup kKk 6 M < ∞.
             K∈K                        K∈K

     Òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
     α ) óðàâíåíèÿ (1.1) è (1.5◦ ) ïðè ëþáûõ n ∈ N îäíîçíà÷íî ðàçðåøè-
ìû â ïðîñòðàíñòâàõ ñîîòâåòñòâåííî X è Xn◦ , ïðè÷åì
                          1                       1
          sup kK −1 k 6     ,   sup kKn◦ −1 k 6     < ∞,   n ∈ N;
          K∈K             m     K∈K               m
     β ) ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ

           dn (X ∗ , X) 6 Vn (E) 6 Un (E) 6 sup kx∗ − x◦n kX 6
                                            x∗ ∈X ∗

                M
                6 dn (X ∗ , X), n ∈ N, x◦n = (Pn◦ K)−1 Pn◦ y,
                m
            ◦
è ìåòîä (1.5 ) îïòèìàëåí ïî ïîðÿäêó â ñìûñëå ëþáîãî èç îïðåäåëåíèé
1 è 2.

Страницы