Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
◦
n
= P
◦
n
K ∈ L(X
◦
n
, X
◦
n
) P
◦
n
X
◦
n
= (e
1
, e
2
, . . . , e
n
), n ∈ N
Y = H X = H(K)
K kxk =
¡
Kx, x
¢
1/2
1
V
n
(E) = s
n
(K
−1
) = d
n
(X
∗
, H(K) = λ
−1/2
n+1
(K), n ∈ N,
e
1
, e
2
, . . . , e
n
K
K
L
2
L
2
D(K)
n
K ≡ E − A ∈ L(X, X), K
n
≡ E − A
n
∈ L(X
n
, X
n
)
A ∈ L(X, X)
K
n
= E − A
n
A
n
∈ L(X, X
n
)
y
n
= y ∈ X
§
X L(X)
X
X E = {e}
Kx ≡ x − Hx = y (x, y ∈ X, H ∈ L(X) ), (3.1)
H = {H} ⊂ L(X)
Y
∗
= {y} ⊂ X. E
n
îïåðàòîðîì Kn◦ = Pn◦ K ∈ L(Xn◦ , Xn◦ ) , ãäå Pn◦  îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî
ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ïîäïðîñòðàíñòâî Xn◦ = lin(e1 , e2 , . . . , en ), n ∈ N .

     Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü Y = H , X = H(K)  ýíåðãåòè÷åñêîå ïðî-
                                         ¡     ¢1/2
ñòðàíñòâî îïåðàòîðà K ñ íîðìîé kxk = Kx, x          . Òîãäà ïðè âûïîë-
íåíèè óñëîâèé á)ã) ñëåäñòâèÿ 1 ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
                                                −1/2
         Vn (E) = sn (K −1 ) = dn (X ∗ , H(K) = λn+1 (K),   n ∈ N,

è îïòèìàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ïî ñèñòåìå
îðòîíîðìàëüíûõ ñîáñòâåííûõ ýëåìåíòîâ e1 , e2 , . . . , en îïåðàòîðà K .
      Çàìåòèì, ÷òî åñëè â ñëåäñòâèè 2 K åñòü ñàìîñîïðÿæåííûé ïîëî-
æèòåëüíî îïðåäåëåííûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ÷åòíîãî ïîðÿäêà
ñ åñòåñòâåííûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè â L2 è ñî âñþäó ïëîòíîé â L2
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(K) , òî ïîëó÷èòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé ðåçóëüòàò
È. Áàáóøêè è Ñ.Ë. Ñîáîëåâà, ïðèâåäåííûé â ðàáîòå [4] áåç äîêàçàòåëü-
ñòâà.  ñâÿçè ñ ýòèì ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðàáîòà [4] ÿâëÿåòñÿ, ïî-
âèäèìîìó, ïåðâîé ðàáîòîé, ãäå â ðàññìàòðèâàåìîì ÷àñòíîì ñëó÷àå óêà-
çàíà (áåç äîêàçàòåëüñòâà) ñâÿçü îïòèìèçàöèè âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ ñ
n -ïîïåðå÷íèêàìè Êîëìîãîðîâà.
      Çäåñü âåñüìà âàæíî îòìåòèòü òàêæå, ÷òî â ñëó÷àå óðàâíåíèé âòîðîãî
ðîäà ñ îïåðàòîðàìè K ≡ E − A ∈ L(X, X), Kn ≡ E − An ∈ L(Xn , Xn )
òåîðåìà 3.1 è åå ñëåäñòâèÿ óæå íå èìåþò ìåñòà. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå
ìîæíî óñòàíîâèòü ñâÿçè ìåæäó àïïðîêñèìàöèîííûìè ÷èñëàìè îïåðàòîðà
A ∈ L(X, X) è îïòèìèçàöèåé ÷àñòíîãî êëàññà ïðÿìûõ ìåòîäîâ âèäà (1.2)
ñ îïåðàòîðàìè Kn = E − An , ãäå An ∈ L(X, Xn ) , è ïðàâûìè ÷àñòÿìè
yn = y ∈ X . Îñòàíîâèìñÿ íà ýòîì áîëåå ïîäðîáíî.
     Ñëåäóÿ § 1, ñíà÷àëà ïðèâåäåì ïîñòàíîâêó çàäà÷è â ðàññìàòðèâàåìîì
÷àñòíîì ñëó÷àå. Ïóñòü X  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, à L(X)  ïðîñòðàí-
ñòâî îïðåäåëåííûõ â X ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ ñ îáû÷íîé
íîðìîé. Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå X êëàññ E = {e} îäíîçíà÷íî ðàçðå-
øèìûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé

               Kx ≡ x − Hx = y (x, y ∈ X, H ∈ L(X) ),                 (3.1)

îïðåäåëÿåìûé íåêîòîðûìè êëàññàìè îïåðàòîðîâ H = {H} ⊂ L(X) è
ïðàâûõ ÷àñòåé Y ∗ = {y} ⊂ X.  òîì æå ïðîñòðàíñòâå ââåäåì êëàññ En

Страницы