Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
◦
n
x
◦
n
≡ G
◦
n
x
◦
n
+ T
◦
n
x
◦
n
= y
◦
n
(x
◦
n
∈ X
n
, y
◦
n
∈ Y
n
), (2.2
◦
)
K
n
x
n
≡ P
n
Gx
n
+ P
n
T x
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
, P
n
y ∈ Y
n
), (2.3)
K
◦
n
x
◦
n
≡ Gx
◦
n
+ P
◦
n
T x
◦
n
= P
◦
n
y (x
◦
n
∈ X
n
, P
◦
n
y ∈ Y
n
), (2.3
◦
)
P
n
= P
2
n
, P
◦
n
= (P
◦
n
)
2
∈ P
(2)
n
(Y, Y
n
) G : X −→ Y
V
n
= inf
K
n
,y
n
:
K
n
x
∗
n
≡y
n
kx
∗
− x
∗
n
k
X
, U
n
= inf
P
n
∈P
(2)
n
:
P
n
Kx
∗
n
≡P
n
y
kx
∗
− x
∗
n
k
X
.
kK
−1
k = 1;
kT − P
◦
n
T k
X→Y
→ 0, n → ∞;
kx
∗
− G
−1
P
◦
n
Gx
∗
k
X
∼ E
n
(x
∗
)
X
, n → ∞, (2.4)
kGx
∗
− P
◦
n
Gx
∗
k
Y
∼ E
n
(Gx
∗
)
Y
, n → ∞, (2.5)
E
n
(x
∗
)
X
= ρ(x
∗
, X
n
), E
n
(y)
Y
= ρ(y, Y
n
)
Y
.
V
n
∼ U
n
∼ E
n
(x
∗
)
X
= E
n
(Gx
∗
)
Y
,
(2.3
◦
)
1 2.
X
G
−1
P
◦
n
G : X −→ X
n
kx
∗
− G
−1
P
◦
n
Gx
∗
k
X
= E
n
(x
∗
)
X
Y
P
◦
n
: Y −→ Y
n
kGx
∗
− P
◦
n
Gx
∗
k
Y
= E
n
(Gx
∗
)
Y
X
G
−1
T
Y T G
−1
             Kn◦ x◦n ≡ G◦n x◦n + Tn◦ x◦n = yn◦ (x◦n ∈ Xn , yn◦ ∈ Yn ),                (2.2◦ )
          Kn xn ≡ Pn Gxn + Pn T xn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn ),                      (2.3)
        Kn◦ x◦n ≡ Gx◦n + Pn◦ T x◦n = Pn◦ y (x◦n ∈ Xn , Pn◦ y ∈ Yn ),                  (2.3◦ )
                                       (2)
ãäå Pn = Pn2 , Pn◦ = (Pn◦ )2 ∈ Pn (Y, Yn ) , G : X −→ Y  ëèíåéíàÿ èçî-
ìåòðèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèÿ (1.3) è (1.6) ïðèíèìàþò âèä ñîîòâåò-
ñòâåííî

          Vn =      inf       kx∗ − x∗n kX ,   Un =       inf        kx∗ − x∗n kX .
                  Kn ,yn :                                   (2)
                                                       Pn ∈Pn :
                 Kn x∗n ≡yn                                ∗
                                                      Pn Kxn ≡Pn y


      Òåîðåìà 2.9. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     a) kK −1 k = 1;
     á) kT − Pn◦ T kX→Y → 0, n → ∞;
     â) kx∗ − G−1 Pn◦ Gx∗ kX ∼ En (x∗ )X ,            n → ∞,                          (2.4)
èëè æå

            kGx∗ − Pn◦ Gx∗ kY ∼ En (Gx∗ )Y ,             n → ∞,                        (2.5)


ãäå En (x∗ )X = ρ(x∗ , Xn ), En (y)Y = ρ(y, Yn )Y .
     Òîãäà
                       Vn ∼ Un ∼ En (x∗ )X = En (Gx∗ )Y ,
è ïðîåêöèîííûé ìåòîä (2.3◦ ) àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí â ñìûñëå ëþ-
áîãî èç îïðåäåëåíèé 1 è 2.
      Îòìåòèì, ÷òî åñëè X  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, à
G−1 Pn◦ G : X −→ Xn åñòü îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ,
òî kx∗ − G−1 Pn◦ Gx∗ kX = En (x∗ )X ; åñëè æå Y  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàí-
ñòâî, à Pn◦ : Y −→ Yn  îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ,
òî kGx∗ − Pn◦ Gx∗ kY = En (Gx∗ )Y , ò. å. óñëîâèÿ (2.4) è (2.5) çàâåäîìî
âûïîëíÿþòñÿ.
      Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íåäîñòàòêîì òåîðåìû 2.9 ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå a),
êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ íå âñåãäà. Îíî âûïîëíÿåòñÿ, åñëè, íàïðèìåð, X 
ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, à G−1 T  íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð â íåì,
èëè æå Y  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, à T G−1  íåîòðèöàòåëüíûé îïå-
ðàòîð â íåì. Òåì íå ìåíåå â îáùåì ñëó÷àå óñëîâèå a) òåîðåìû 2.9 íå
âûïîëíÿåòñÿ. Ýòîãî íåäîñòàòêà ëèøåíû ñëåäóþùèå òåîðåìû.

Страницы