Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.5
◦
K = E − A ∈ L(X, X), K
n
= E − P
n
A ∈
L(X
n
, X
n
), P
n
∈ P
n
(X, X
n
) P
n
= P
(3)
n
(X, X
n
)
P
2
n
= P
n
X X
n
π
n
(X
∗
, X) 6 U
n
(E) 6 sup
e∈E
kx
∗
− x
◦
n
k 6 γ
n
(K) sup
x∈X
∗
kx − P
◦
n
xk,
γ
n
(K) = sup
K∈K
kE − K
◦
n
−1
P
◦
n
Ak
X→X
, K
◦
n
= E − P
◦
n
A, x
◦
n
= K
◦
n
−1
P
◦
n
y.
P
n
P
◦
n
L
p
, 1 < p < ∞
2.2 (1.1), (1.5)
(1.5
◦
)
γ
n
(K) · sup
x∈X
∗
kx − P
◦
n
xk = , ∼ , ³ π
n
(X
∗
, X).
(1.5
◦
) P
◦
n
∈ P
(3)
n
(X, X
◦
n
)
2.
X X
n
n ∈ N
X = C
2π
X
n
=
T
m
m
n = 2m + 1 P
n
= P
(2)
n
(C
2π
,
T
m
), X
∗
= {(E − A)
−1
y}
C
2π
P
◦
n
= Φ
m
m
sup
K∈K
kA − Φ
m
Ak
C
2π
→C
2π
→ 0, m → ∞.
óðàâíåíèé (1.1), (1.5), ( 1.5◦ ) íå èìåþò ìåñòà. Ýòè ðåçóëüòàòû îñíîâàíû
íà ñëåäóþùåé ëåììå.

        Ëåììà 2.2. Ïóñòü K = E − A ∈ L(X, X), Kn = E − Pn A ∈
                                                (3)
L(Xn , Xn ), Pn ∈ Pn (X, Xn ) . Åñëè Pn = Pn (X, Xn )  êëàññ âñåõ ëèíåé-
íûõ (íåîáÿçàòåëüíî îãðàíè÷åííûõ) ïðîåêöèîííûõ ( Pn2 = Pn ) îïåðàòîðîâ
èç X â Xn , òî

         πn (X ∗ , X) 6 Un (E) 6 sup kx∗ − x◦n k 6 γn (K) sup kx − Pn◦ xk,
                                   e∈E                    x∈X ∗

ãäå

      γn (K) = sup kE − Kn◦ −1 Pn◦ AkX→X , Kn◦ = E − Pn◦ A, x◦n = Kn◦ −1 Pn◦ y.
               K∈K

      Îòìåòèì, ÷òî îäíèì èç ñóùåñòâåííûõ îòëè÷èé ýòîé ëåììû îò ïðå-
äûäóùåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî çäåñü îïåðàòîðû Pn è Pn◦ ìîãóò áûòü è
íåîãðàíè÷åííûìè (òàêàÿ ñèòóàöèÿ âñòðå÷àåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè èññëåäîâà-
íèè (ñì., íàïð., [10][13],[17], [18], [26], [29], [30]) ìåòîäîâ êîëëîêàöèîííîãî
òèïà â ïðîñòðàíñòâàõ Ëåáåãà Lp , 1 < p < ∞ ). Çäåñü ïðèâåäåì ëèøü îäèí
ðåçóëüòàò.

        Òåîðåìà 2.7. Ïóñòü â óñëîâèÿõ ëåììû 2.2 óðàâíåíèÿ (1.1), (1.5)
è (1.5◦ ) òàêîâû, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:

                  γn (K) · sup kx − Pn◦ xk = , ∼ , ³ πn (X ∗ , X).
                           x∈X ∗

                                                                       (3)
     Òîãäà ïðîåêöèîííûé ìåòîä (1.5◦ ) ñ îïåðàòîðîì Pn◦ ∈ Pn (X, Xn◦ )
ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëåí, àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí, îïòèìàëåí
ïî ïîðÿäêó â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.
     Äëÿ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà ïðèâåäåì åùå îäèí ðåçóëüòàò, íî â ñëó-
÷àå ôèêñèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ X è Xn (ïðè ôèêñèðîâàííîì n ∈ N ).

        Òåîðåìà 2.8. Ïóñòü X = C2π ñ îáû÷íîé íîðìîé, Xn = IHTm  ìíî-
æåñòâî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ ïîðÿäêà íå âûøå m (òàê ÷òî
                          (2)
çäåñü n = 2m + 1 ), Pn = Pn (C2π , IHTm ), X ∗ = {(E − A)−1 y}  êîìïàêò â
C2π , à Pn◦ = Φm  îïåðàòîð Ôóðüå ïîðÿäêà m ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
ñèñòåìå è
                 sup kA − Φm AkC2π →C2π → 0, m → ∞.
                     K∈K

Страницы