Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K = G + T ∈ L(X, Y ), K
n
= P
n
G + P
n
T ∈ L(X
n
, Y
n
), GX
◦
n
= Y
◦
n
,
K
◦
n
= G + P
◦
n
T ∈ L(X
◦
n
, Y
◦
n
), P
n
∈ P
(2)
n
(Y, Y
n
), P
◦
n
∈ P
(2)
n
(Y, Y
◦
n
),
G ∈ L(X, Y )
β
n
= 1 Π
◦
n
= G
−1
P
◦
n
G ∈ L(X, X
◦
n
)
π
n
(X
∗
, X)
β
n
∼ 1 Π
◦
n
π
n
(X
∗
, X)
β
n
³ 1 Π
◦
n
π
n
(X
∗
, X)
β
n
= sup
K∈K
kE − K
◦
n
−1
P
◦
n
T k
X→X
, K
◦
n
= P
◦
n
K ∈ L(X
◦
n
, Y
◦
n
).
(1.5
◦
)
2.
K ∈ K T = K − G : X −→ Y
(P
◦
n
)
2
= P
◦
n
→ E n → ∞ Y
sup
K∈K
kT − T G
−1
P
◦
n
Gk
X→Y
→ 0, n → ∞;
sup
x∈X
∗
kx − G
−1
P
◦
n
Gxk
X
∼ π
n
(X
∗
, X), n → ∞.
2.5
U
n
(E) ∼ sup
x
∗
∈X
∗
kx
∗
− x
◦
n
k
X
∼ π
n
(X
∗
, X),
(1.5
◦
) 2.
ãë.14 [47], â äîïîëíåíèå ê òåîðåìàì 2.3 è 2.4 ïðèâåäåì ñëåäóþùèå äâå
òåîðåìû.

     Òåîðåìà 2.5. Ïóñòü

   K = G + T ∈ L(X, Y ), Kn = Pn G + Pn T ∈ L(Xn , Yn ), GXn◦ = Yn◦ ,

     Kn◦ = G + Pn◦ T ∈ L(Xn◦ , Yn◦ ), Pn ∈ Pn(2) (Y, Yn ), Pn◦ ∈ Pn(2) (Y, Yn◦ ),
ãäå G ∈ L(X, Y )  ôèêñèðîâàííûé èçîìåòðè÷åñêèé èçîìîðôèçì.
Ïóñòü, êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
      à) βn = 1 è îïåðàòîð Π◦n = G−1 Pn◦ G ∈ L(X, Xn◦ ) ÿâëÿåòñÿ ýêñòðå-
ìàëüíûì äëÿ ïðîåêöèîííîãî ïîïåðå÷íèêà πn (X ∗ , X) ;
      á) βn ∼ 1 è îïåðàòîð Π◦n õîòÿ áû àñèìïòîòè÷åñêè ýêñòðåìàëåí
äëÿ πn (X ∗ , X) ;
      â) βn ³ 1 è îïåðàòîð Π◦n ýêñòðåìàëåí õîòÿ áû ïî ïîðÿäêó äëÿ
πn (X ∗ , X) , ãäå

          βn = sup kE − Kn◦ −1 Pn◦ T kX→X ,     Kn◦ = Pn◦ K ∈ L(Xn◦ , Yn◦ ).
               K∈K

     Òîãäà ïðîåêöèîííûé ìåòîä (1.5◦ ) ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëåí,
àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí, îïòèìàëåí ïî ïîðÿäêó â ñìûñëå îïðåäå-
ëåíèÿ 2.

     Òåîðåìà 2.6. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     à) äëÿ ëþáûõ K ∈ K îïåðàòîðû T = K − G : X −→ Y âïîëíå
íåïðåðûâíû;
     á) (Pn◦ )2 = Pn◦ → E ïðè n → ∞ ñèëüíî â Y ;
     â)     supK∈K kT − T G−1 Pn◦ GkX→Y → 0,           n → ∞;
     ã)     supx∈X ∗ kx − G−1 Pn◦ GxkX ∼ πn (X ∗ , X),        n → ∞.
     Òîãäà â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2.5 ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ

                     Un (E) ∼ sup kx∗ − x◦n kX ∼ πn (X ∗ , X),
                              x∗ ∈X ∗

è ìåòîä (1.5◦ ) àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.
      Äëÿ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà ëåììà 2.1, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñëåäóþ-
ùèå èç íåå òåîðåìû çíà÷èòåëüíî êîíêðåòèçèðóþòñÿ è óïðîùàþòñÿ. Îäíà-
êî â ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâû è òàêèå ðåçóëüòàòû, êîòîðûå â ñëó÷àå îáùèõ

Страницы