Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.5
◦
P
◦
n
∈
P
(1)
n
(Y, Y
◦
n
)
1.5
◦
P
◦
n
∈
P
(2)
n
(Y, Y
◦
n
)
X
∗
X, P
n
= P
(1)
n
(Y, Y
n
)
α
n
= 1 X
◦
n
λ
n
(X
∗
, X) d
n
(X
∗
, X)
α
n
∼ 1 X
◦
n
λ
n
(X
∗
, X) d
n
(X
∗
, X)
α
n
³ 1 X
◦
n
λ
n
(X
∗
, X) d
n
(X
∗
, X)
(1.5
◦
) P
◦
n
∈ P
(1)
n
(Y, Y
◦
n
)
2 1
X
∗
X P
n
= P
(2)
n
(Y, Y
n
)
α
n
= 1 X
◦
n
π
n
(X
∗
, X)
d
n
(X
∗
, X)
α
n
∼ 1 X
◦
n
π
n
(X
∗
, X) d
n
(X
∗
, X)
α
n
³ 1 X
◦
n
π
n
(X
∗
, X) d
n
(X
∗
, X)
(1.5
◦
) P
◦
n
∈ P
(2)
n
(Y, Y
◦
n
)
2
1
      Îòìåòèì, ÷òî ÷àñòü à) ëåììû ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ïðîñòûå äî-
ñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ìåòîäà ( 1.5◦ ) ñ îïåðàòîðîì Pn◦ ∈
  (1)
Pn (Y, Yn◦ ) ñðåäè âñåõ ëèíåéíûõ ìåòîäîâ âèäà (1.5), à òàêæå ñðåäè âñåõ
ïðÿìûõ ìåòîäîâ âèäà (1.2); ÷àñòü á) ëåììû ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü äî-
ñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ìåòîäà ( 1.5◦ ) ñ îïåðàòîðîì Pn◦ ∈
  (2)
Pn (Y, Yn◦ ) ñðåäè âñåõ ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ (1.5), à òàêæå ñðåäè âñåõ
ïðÿìûõ ìåòîäîâ âèäà (1.2). Íåêîòîðûå ïîäðîáíîñòè îá ýòîì ìîæíî íàé-
òè â ãë. II è IV êíèãè [10] è â ðàáîòàõ [21], [23][28], [30], [32][34]. Çäåñü
ïðèâåäåì ëèøü ñëåäóþùèå òåîðåìû.

      Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü X ∗  öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åñêèé êîìïàêò
                              (1)
â ïðîñòðàíñòâå X, Pn = Pn (Y, Yn ) è âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:
      à) αn = 1 è Xn◦  ýêñòðåìàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ ïîïåðå÷-
íèêà λn (X ∗ , X) (ñîîòâåòñòâåííî äëÿ dn (X ∗ , X) );
      á) αn ∼ 1 è Xn◦  õîòÿ áû àñèìïòîòè÷åñêè ýêñòðåìàëüíîå ïîä-
ïðîñòðàíñòâî äëÿ λn (X ∗ , X) (ñîîòâåòñòâåííî äëÿ dn (X ∗ , X) );
      â) αn ³ 1 è Xn◦  ýêñòðåìàëüíîå õîòÿ áû ïî ïîðÿäêó ïîäïðîñòðàí-
ñòâî äëÿ λn (X ∗ , X) (ñîîòâåòñòâåííî äëÿ dn (X ∗ , X) ).
                                                      (1)
      Òîãäà ïðîåêöèîííûé ìåòîä (1.5◦ ) ñ Pn◦ ∈ Pn (Y, Yn◦ ) ñîîòâåò-
ñòâåííî îïòèìàëåí, àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí, îïòèìàëåí ïî ïîðÿä-
êó â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2 (ñîîòâåòñòâåííî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1 ).

      Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü X ∗  öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åñêèé êîì-
                                     (2)
ïàêò â ïðîñòðàíñòâå X , Pn = Pn (Y, Yn ) è âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëî-
âèé:
     à) αn = 1 è Xn◦  ýêñòðåìàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ πn (X ∗ , X)
(ñîîòâåòñòâåííî äëÿ dn (X ∗ , X) );
     á) αn ∼ 1 è Xn◦  õîòÿ áû àñèìïòîòè÷åñêè ýêñòðåìàëüíîå ïîä-
ïðîñòðàíñòâî äëÿ πn (X ∗ , X) (ñîîòâåòñòâåííî äëÿ dn (X ∗ , X) );
     â) αn ³ 1 è Xn◦  ýêñòðåìàëüíîå õîòÿ áû ïî ïîðÿäêó ïîäïðîñòðàí-
ñòâî äëÿ πn (X ∗ , X) (ñîîòâåòñòâåííî äëÿ dn (X ∗ , X) ).
                                                                (2)
     Òîãäà ïðîåêöèîííûé ìåòîä (1.5◦ ) ñ îïåðàòîðîì Pn◦ ∈ Pn (Y, Yn◦ )
ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëåí, àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëåí, îïòèìàëåí
ïî ïîðÿäêó â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2 (ñîîòâåòñòâåííî â ñìûñëå îïðåäå-
ëåíèÿ 1 ).
     Äëÿ óðàâíåíèé, ïðèâîäÿùèõñÿ ê óðàâíåíèÿì âòîðîãî ðîäà â ñìûñëå

Страницы