Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
∗
Y
∗
X Y
kKk
X→Y
6 c
0
< ∞, kK
−1
k
Y →X
6 c
1
< ∞ c
0
c
1
E
(1.1) (1.2
◦
)
sup
K∈K
kK − K
◦
n
k
X
◦
n
→Y
= O(d
n
), sup
y∈Y
∗
ky − y
◦
n
k
Y
= O(d
n
),
d
n
= d
n
(X
∗
, X) d
n
= d
n
(Y
∗
, Y )
V
n
(E) ³ sup
e∈E
kx
∗
− x
◦
n
k
X
³ d
n
,
(1.2
◦
)
1.
K
◦
n
= P
◦
n
K ∈ L(X
◦
n
, Y
◦
n
), y
◦
n
= P
◦
n
y ∈ Y
◦
n
, P
◦
n
∈ P
n
(Y, Y
◦
n
),
2.1 (1.5
◦
)
(1.2)
2.1
(1.2
◦
)
K
◦
n
∈ L (X
◦
n
, Y
◦
n
)
y
◦
n
∈ Y
◦
n
(1.1) E
(1.2
◦
),
(1.2
◦
).
X
∗
Y
∗
X Y
X
◦
n
Y
◦
n
d
n
(X
∗
, X) d
n
(Y
∗
, Y )
     Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
    à) X ∗ (ñîîòâåòñòâåííî Y ∗ )  öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åñêèé êîì-
ïàêò â ïðîñòðàíñòâå X (ñîîòâåòñòâåííî â Y );
    á) kKkX→Y 6 c0 < ∞, kK −1 kY →X 6 c1 < ∞ , ãäå c0 è c1 
ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, îáùèå äëÿ âñåãî êëàññà E ;
    â) óðàâíåíèÿ (1.1) è (1.2◦ ) òàêîâû, ÷òî

         sup kK − Kn◦ kX ◦ →Y = O(dn ),         sup ky − yn◦ kY = O(dn ),
                            n
         K∈K                                   y∈Y ∗

ãäå dn = dn (X ∗ , X) (ñîîòâåòñòâåííî dn = dn (Y ∗ , Y ) ).
      Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ

                         Vn (E) ³ sup kx∗ − x◦n kX ³ dn ,
                                   e∈E

è ïðÿìîé ìåòîä (1.2◦ ) ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó â ñìûñëå
îïðåäåëåíèÿ 1.

     Ñëåäñòâèå 1. Åñëè

         Kn◦ = Pn◦ K ∈ L(Xn◦ , Yn◦ ), yn◦ = Pn◦ y ∈ Yn◦ , Pn◦ ∈ Pn (Y, Yn◦ ),

òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2.1 ïðîåêöèîííûé ìåòîä (1.5◦ ) îïòèìàëåí ïî
ïîðÿäêó ñðåäè âñåõ ïðÿìûõ ìåòîäîâ âèäà (1.2) .

     Ñëåäñòâèå 2. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2.1 ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:
       à) îïòèìàëüíûé ïî ïîðÿäêó ïðÿìîé ìåòîä (1.2◦ ) óñòîé÷èâ îò-
íîñèòåëüíî ìàëûõ âîçìóùåíèé îïåðàòîðà Kn◦ ∈ L(Xn◦ , Yn◦ ) è ýëåìåíòà
yn◦ ∈ Yn◦ ;
       á) èç õîðîøåé îáóñëîâëåííîñòè óðàâíåíèÿ (1.1) èç êëàññà E ñëå-
äóåò õîðîøàÿ îáóñëîâëåííîñòü îïòèìàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.2◦ ), à ñëå-
äîâàòåëüíî, è êîíå÷íîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé,
ýêâèâàëåíòíîé îïåðàòîðíîìó óðàâíåíèþ (1.2◦ ).

     Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     à) X ∗ (ñîîòâåòñòâåííî Y ∗ ) åñòü öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åñêèé
êîìïàêò â ïðîñòðàíñòâå X (ñîîòâåòñòâåííî â Y );
     á) ïîäïðîñòðàíñòâî Xn◦ (ñîîòâåòñòâåííî Yn◦ ) ýêñòðåìàëüíî õîòÿ
áû ïî ïîðÿäêó äëÿ dn (X ∗ , X) (ñîîòâåòñòâåííî äëÿ dn (Y ∗ , Y ) );

Страницы