Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U
n
(E) = inf
X
n
,Y
n
inf
P
n
∈P
n
sup
e∈E
kx
∗
− x
∗
n
k
X
. (1.6)
x
◦
n
= (P
◦
n
K)
−1
P
◦
n
y
sup
e∈E
kx
∗
− x
◦
n
k
X
= , ∼, ³ U
n
(E), (1.7)
(1.5
◦
)
(1.5) E (1.1).
P
n
1.5
◦
1.5
◦
E
X
n
Y
n
§
2.1.
n
d
n
(Y
∗
, Y ) d
n
(X
∗
, X)
X
∗
= {x
∗
∈ X : Kx
∗
≡ y, K ∈ K, y ∈ Y
∗
}.
âåëè÷èíó (ñì. ðàáîòû [10], [26], [30], [32])

                    Un (E) = inf    inf sup kx∗ − x∗n kX .          (1.6)
                             Xn ,Yn Pn ∈Pn e∈E

      Îïðåäåëåíèå 2. Åñëè ýëåìåíò x◦n = (Pn◦ K)−1 Pn◦ y óäîâëåòâîðÿåò
îäíîìó èç óñëîâèé ñîîòâåòñòâåííî

                      sup kx∗ − x◦n kX = , ∼, ³ Un (E),             (1.7)
                       e∈E

òî ïðîåêöèîííûé ìåòîä (1.5◦ ) íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëü-
íûì, àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûì, îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó ñðåäè
âñåõ ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ âèäà (1.5) íà êëàññå E óðàâíåíèé (1.1).
       ñâÿçè ñî ñêàçàííûì âîçíèêàåò çàäà÷à 2 íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîé
îöåíêè ïîãðåøíîñòè (1.6) ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ çàäàíèÿ êëàññà îïå-
ðàòîðîâ Pn è ïîñòðîåíèÿ ìåòîäà ( 1.5◦ ), îïòèìàëüíîãî ïðåæäå âñåãî â
ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2, à òàêæå â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1  ò. å. ïîñòðîåíèÿ
ïðîåêöèîííîãî ìåòîäà ( 1.5◦ ), îïòèìàëüíîãî èëè àñèìïòîòè÷åñêè îïòè-
ìàëüíîãî èëè æå îïòèìàëüíîãî ïî ïîðÿäêó ñðåäè âñåõ ïðÿìûõ ìåòîäîâ
âèäà (1.2) íà êëàññå E óðàâíåíèé (1.1).
      Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî çàäà÷è 1 è 2 ñîäåðæàòåëüíû äàæå â ÷àñòíûõ
ñëó÷àÿõ, êîãäà ïîäïðîñòðàíñòâà Xn è Yn ÿâëÿþòñÿ ôèêñèðîâàííûìè, à
òàêæå â ñëó÷àå, êîãäà êàê óðàâíåíèå (1.1), òàê è ýòè ïîäïðîñòðàíñòâà
ôèêñèðîâàíû, è ò.ï. Íåîáõîäèìîñòü ðàññìîòðåíèÿ ýòèõ ñëó÷àåâ äèêòó-
åòñÿ, â ÷àñòíîñòè, íåîáõîäèìîñòüþ îïòèìèçàöèè "îäíîèìåííûõ" (íàïð.,
ïîëèíîìèàëüíûõ è ñïëàéíîâûõ) ìåòîäîâ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ è äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.


       § 2. Îïòèìàëüíûå ïðÿìûå è ïðîåêöèîííûå ìåòîäû
                  ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé
                     2.1. Îïòèìèçàöèÿ ïðÿìûõ ìåòîäîâ

       Ñíà÷àëà ïðèâåäåì äâå òåîðåìû äëÿ îáùèõ ïðÿìûõ ìåòîäîâ (1.2).
Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííóþ ðîëü áóäóò èãðàòü n -ïîïåðå÷íèêè (ñì., íàïð.,
[2], [3], [50][52], [70]) Êîëìîãîðîâà dn (Y ∗ , Y ) è dn (X ∗ , X) , ãäå

               X ∗ = {x∗ ∈ X : Kx∗ ≡ y, K ∈ K, y ∈ Y ∗ }.

Страницы