Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
X Y X
n
⊂ X
Y
n
⊂ Y
n ∈ N. L(X, Y )
X
Y
E = {e}
Kx = y (x ∈ X, y ∈ Y, K ∈ L(X, Y )), (1.1)
K = {K} ⊂ L(X, Y )
Y
∗
= {y} ⊂ Y
E
n
= {e
n
}
K
n
x
n
= y
n
(x
n
∈ X
n
, y
n
∈ Y
n
, K
n
∈ L(X
n
, Y
n
)), (1.2)
X
n
Y
n
dim X
n
=
= dim Y
n
= n < ∞.
x
∗
∈ X E
x
∗
n
∈ X
n
⊂ X E
n
E
n
E
V
n
(E) = inf
X
n
,Y
n
inf
e
n
∈ E
n
sup
e∈ E
kx
∗
− x
∗
n
k
X
, (1.3)
X
n
Y
n
X
n
⊂ X Y
n
⊂ Y
n ∈ N
K
◦
n
x
◦
n
= y
◦
n
(x
◦
n
∈ X
◦
n
⊂ X, y
◦
n
∈ Y
◦
n
⊂ Y, K
◦
n
∈ L(X
◦
n
, Y
◦
n
)) (1.2
◦
)
Á.Ñ. Êàøèí, Þ.Í. Ñóááîòèí, Ð.Ñ. Èñìàãèëîâ è äð.; ñì., íàïð., â [2], [3],
[50][52], [70]).
      Íèæå ïðåäëàãàåòñÿ êðàòêèé îáçîð ðÿäà îáùèõ ðåçóëüòàòîâ àâòîðà
ïî ðàññìàòðèâàåìîé òåìàòèêå; èçëîæåíèå âåäåòñÿ ïî ðàáîòàì [10][13],
[21][28], [30], [32][34], [37].

                           § 1. Ïîñòàíîâêè çàäà÷

     Ïóñòü X è Y  äàííûå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, à Xn ⊂ X è
Yn ⊂ Y  èõ ïðîèçâîëüíûå êîíå÷íîìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà îäèíàêî-
âîé ðàçìåðíîñòè n ∈ N. ×åðåç L(X, Y ) áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâî
ëèíåéíûõ (ò. å. àääèòèâíûõ è îäíîðîäíûõ) îïåðàòîðîâ, îòîáðàæàþùèõ X
â Y.
     Ðàññìîòðèì êëàññ E = {e} îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìûõ óðàâíåíèé
                    Kx = y (x ∈ X, y ∈ Y, K ∈ L(X, Y )),                   (1.1)
îïðåäåëÿåìûé íåêîòîðûìè êëàññàìè îïåðàòîðîâ K = {K} ⊂ L(X, Y )
è ïðàâûõ ÷àñòåé Y ∗ = {y} ⊂ Y ñîîòâåòñòâåííî. Ââåäåì òàêæå êëàññ
En = {en } îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìûõ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé
             Kn xn = yn (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn , Kn ∈ L(Xn , Yn )),            (1.2)
ïîðîæäàåìûõ ïðÿìûìè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) ïðè êàæäîé
ïàðå ïðîèçâîëüíî ôèêñèðîâàííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Xn è Yn ñ dim Xn =
= dim Yn = n < ∞.
     Ðåøåíèå x∗ ∈ X óðàâíåíèÿ (1.1) èç êëàññà E áóäåì àïïðîêñèìèðî-
âàòü ðåøåíèÿìè x∗n ∈ Xn ⊂ X óðàâíåíèé (1.2) èç êëàññà En . Ïðè ýòîì çà
îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïîãðåøíîñòè êëàññà En ïðÿìûõ ìåòîäîâ (1.2) íà
êëàññå E óðàâíåíèé (1.1) ïðèìåì âåëè÷èíó [10], [26], [30], [32]
                      Vn (E) = inf     inf sup kx∗ − x∗n kX ,              (1.3)
                               Xn ,Yn en ∈ En e∈ E

ãäå âíóòðåííÿÿ òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì óðàâíåíèÿì âè-
äà (1.2) ïðè ïðîèçâîëüíî ôèêñèðîâàííûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ Xn è Yn ,
à âíåøíÿÿ  ïî âñåâîçìîæíûì ïîäïðîñòðàíñòâàì Xn ⊂ X è Yn ⊂ Y
ðàçìåðíîñòè n ∈ N .
     Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ôèêñèðîâàííûé ïðÿìîé ìå-
òîä (óðàâíåíèå)
    Kn◦ x◦n = yn◦   (x◦n ∈ Xn◦ ⊂ X, yn◦ ∈ Yn◦ ⊂ Y, Kn◦ ∈ L(Xn◦ , Yn◦ ))   (1.2◦ )

Страницы