Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

dim X
◦
n
= dim Y
◦
n
= n,
sup
e∈E
kx
∗
− x
◦
n
k
X
= , ∼, ³ V
n
(E), x
◦
n
= K
◦
n
−1
y
◦
n
. (1.4)
(1.2
◦
)
(1.2) E (1.1).
(1.2
◦
),
P
n
= P
n
(Y, Y
n
) ⊂ L(Y, Y
n
)
Y Y
n
1.2
◦
K
n
x
n
≡ P
n
Kx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
, P
n
∈ P
n
(Y, Y
n
)), (1.5)
K
◦
n
x
◦
n
≡ P
◦
n
Kx
◦
n
= P
◦
n
y (x
◦
n
∈ X
◦
n
, P
◦
n
∈ P
n
(Y, Y
◦
n
)). (1.5
◦
)
1.5
◦
1.5
◦
1.2
◦
x
◦
n
= (P
◦
n
K)
−1
P
◦
n
y
1.5
◦
C C
(m)
m
E
n
E
∼ ³
c dim Xn◦ = dim Yn◦ = n, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé
ñîîòâåòñòâåííî1

                   sup kx∗ − x◦n kX = , ∼, ³ Vn (E),         x◦n = Kn◦ −1 yn◦ .         (1.4)
                   e∈E

Òîãäà ìåòîä (1.2◦ ) íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëüíûì,
àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûì, îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó ñðåäè
âñåâîçìîæíûõ ïðÿìûõ ìåòîäîâ âèäà (1.2) íà êëàññå E óðàâíåíèé (1.1).
      ñâÿçè ñî ñêàçàííûì âîçíèêàåò çàäà÷à 1 íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîé
îöåíêè ïîãðåøíîñòè (1.3) è ïîñòðîåíèÿ ôèêñèðîâàííîãî ìåòîäà (1.2◦ ),
îïòèìàëüíîãî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.
     Äàëåå, îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn = Pn (Y, Yn ) ⊂ L(Y, Yn ) íåêîòîðîå ìíî-
æåñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ èç Y â Yn è íàðÿäó ñ (1.2) è ( 1.2◦ ) ðàññìîò-
ðèì óðàâíåíèÿ

                Kn xn ≡ Pn Kxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn ∈ Pn (Y, Yn )),                     (1.5)

                Kn◦ x◦n ≡ Pn◦ Kx◦n = Pn◦ y (x◦n ∈ Xn◦ , Pn◦ ∈ Pn (Y, Yn◦ )).          (1.5◦ )
Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿìè (1.5), ( 1.5◦ ) îïèñûâàþòñÿ ÷àñòî èñïîëüçóå-
ìûå íà ïðàêòèêå ò. í. ïðîåêöèîííûå ìåòîäû. Ïðîåêöèîííûìè ÿâëÿþòñÿ,
íàïðèìåð, õîðîøî èçâåñòíûå ìåòîäû Ãàëåðêèíà, ìîìåíòîâ, íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ, êîëëîêàöèé, îñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé è äð.
     ßñíî, ÷òî ïðîåêöèîííûå ìåòîäû (1.5) è ( 1.5◦ ) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè
ñëó÷àÿìè ïðÿìûõ ìåòîäîâ (1.2) è ( 1.2◦ ) ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó, åñëè
ýëåìåíò x◦n = (Pn◦ K)−1 Pn◦ y óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç óñëîâèé (1.4), òî ïðî-
åêöèîííûé ìåòîä ( 1.5◦ ) ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëüíûì, àñèìïòî-
òè÷åñêè îïòèìàëüíûì, îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó ñðåäè âñåõ ïðÿìûõ ìå-
òîäîâ âèäà (1.2). Îäíàêî íà ïðàêòèêå ìíîãèå ïðîåêöèîííûå ìåòîäû òà-
êîé "êîíêóðåíöèè" íå âûäåðæèâàþò. Òàêèì "íåïðèÿòíûì" ñâîéñòâîì
îáëàäàþò, íàïðèìåð, âàæíåéøèå ïîëèíîìèàëüíûå ïðîåêöèîííûå ìåòîäû
ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ è äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ïðîñòðàíñòâàõ
òèïà C è C (m) ( m  ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ) ñ îáû÷íûìè íîðìàìè. Ïîýòîìó
èìååò ñìûñë ñïåöèàëüíî îðãàíèçîâàòü îïòèìèçàöèþ êëàññà ïðîåêöèîí-
íûõ ìåòîäîâ âèäà (1.5).
      ýòîì ñëó÷àå çà îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïîãðåøíîñòè êëàññà En ïðî-
åêöèîííûõ ìåòîäîâ (1.5) íà êëàññå E óðàâíåíèé (1.1) åñòåñòâåííî ïðèíÿòü
  1 Çäåñü   è äàëåå ñèìâîëû ∼ è ³ îçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî ñèëüíóþ è ñëàáóþ ýêâèâàëåíòíîñòè.

Страницы