Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
◦
n
∈ P
n
(Y, Y
◦
n
) n → ∞
sup
K∈K
kE − K
◦
n
−1
P
◦
n
Kk
X→X
= O (1), sup
K∈K
kE − K
◦
n
−1
P
◦
n
Kk
X
◦
n
→X
◦
n
= O (d
n
),
sup
K∈K,y∈Y
∗
kK
◦
n
−1
(y
◦
n
− P
◦
n
y)k
X
= O (d
n
),
d
n
= d
n
(X
∗
, X) d
n
= d
n
(Y
∗
, Y )
(2.1), (1.2
◦
)
1.
2.2.
1.5
◦
n
d
n
(X
∗
, X) n λ
n
(X
∗
, X) n
π
n
(X
∗
, X) X
∗
X
α
n
= α
n
(K) ≡ sup
K∈K
kE − K
◦
n
−1
P
◦
n
Kk
X→X
, K
◦
n
= P
◦
n
K ∈ L(X
◦
n
, Y
◦
n
).
P
n
= P
(1)
n
(Y, Y
n
)
n ∈ N Y Y
n
(1.1), (1.5), (1.5
◦
)
d
n
(X
∗
, X) 6 λ
n
(X
∗
, X) 6 U
n
(E) 6 sup
e∈E
kx
∗
− x
◦
n
k 6
6 α
n
(K) ρ(X
∗
, X
◦
n
), x
◦
n
= (P
◦
n
K)
−1
P
◦
n
y ∈ X
◦
n
, P
◦
n
∈ P
(1)
n
(Y, Y
◦
n
);
P
n
= P
(2)
n
(Y, Y
n
)
P
2
n
= P
n
P
(1)
n
(Y, Y
n
)
d
n
(X
∗
, X) 6 π
n
(X
∗
, X) 6 U
n
(E) 6 sup
e∈E
kx
∗
− x
◦
n
k 6
6 α
n
(K) ρ(X
∗
, X
◦
n
), x
◦
n
= (P
◦
n
K)
−1
P
◦
n
y ∈ X
◦
n
, P
◦
n
∈ P
(2)
n
(Y, Y
◦
n
).
       â) ñóùåñòâóåò òàêîé îïåðàòîð Pn◦ ∈ Pn (Y, Yn◦ ) , ÷òî ïðè n → ∞

 sup kE − Kn◦ −1 Pn◦ KkX→X = O (1), sup kE − Kn◦ −1 Pn◦ KkXn◦ →Xn◦ = O (dn ),
 K∈K                                         K∈K

                        sup       kKn◦ −1 (yn◦ − Pn◦ y)kX = O (dn ),
                     K∈K,y∈Y ∗

ãäå dn = dn (X ∗ , X) (ñîîòâåòñòâåííî dn = dn (Y ∗ , Y ) ).
      Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.1), è ïðÿìîé ìåòîä (1.2◦ ) îï-
òèìàëåí ïî ïîðÿäêó â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.


                   2.2. Îïòèìèçàöèÿ ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ

     Äëÿ ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ (1.5), ( 1.5◦ ) òåîðåìû 2.1 è 2.2 çíà÷è-
òåëüíî óïðîùàþòñÿ è óñèëèâàþòñÿ. Îäíàêî çäåñü ìîæíî ïîëó÷èòü è áî-
ëåå ñèëüíûå ðåçóëüòàòû; îíè îñíîâàíû íà äâóõ ëåììàõ, äîêàçàííûõ ñ
ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ ãë. I [10]. Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàþò
ïîïåðå÷íèêè (ñì., íàïð., [2], [3], [50][52], [70]), à èìåííî n -ïîïåðå÷íèê
Êîëìîãîðîâà dn (X ∗ , X) , n -é ëèíåéíûé ïîïåðå÷íèê λn (X ∗ , X) è n -é ïðî-
åêöèîííûé ïîïåðå÷íèê πn (X ∗ , X) ìíîæåñòâà X ∗ â ïðîñòðàíñòâå X , à
òàêæå âåëè÷èíà

   αn = αn (K) ≡ sup kE − Kn◦ −1 Pn◦ KkX→X , Kn◦ = Pn◦ K ∈ L(Xn◦ , Yn◦ ).
                      K∈K


       Ëåììà 2.1. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
                            (1)
     à) Åñëè Pn = Pn (Y, Yn )  ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ è îãðàíè-
÷åííûõ (ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì n ∈ N ) îïåðàòîðîâ èç Y â Yn , òî
äëÿ óðàâíåíèé (1.1), (1.5), (1.5◦ ) ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà

             dn (X ∗ , X) 6 λn (X ∗ , X) 6 Un (E) 6 sup kx∗ − x◦n k 6
                                                          e∈E

       6 αn (K) ρ(X ∗ , Xn◦ ), x◦n = (Pn◦ K)−1 Pn◦ y ∈ Xn◦ , Pn◦ ∈ Pn(1) (Y, Yn◦ );
                                   (2)
       á) åñëè æå Pn = Pn (Y, Yn )  ìíîæåñòâî âñåõ ïðîåêöèîííûõ
                            (1)
( Pn2 = Pn ) îïåðàòîðîâ èç Pn (Y, Yn ) , òî

             dn (X ∗ , X) 6 πn (X ∗ , X) 6 Un (E) 6 sup kx∗ − x◦n k 6
                                                          e∈E

     6 αn (K) ρ(X ∗ , Xn◦ ),      x◦n = (Pn◦ K)−1 Pn◦ y ∈ Xn◦ , Pn◦ ∈ Pn(2) (Y, Yn◦ ).

Страницы