Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

sup
K∈K
kE − (E − Φ
m
A)
−1
Φ
m
Ak
C
2π
→C
2π
= , ∼ , ³ 1,
x − Ax = y
x
◦
n
= (E − Φ
m
A)
−1
Φ
m
y
2
kAk
L
2
→C
2π
6 L
2
= L
2
(0, 2π)
U
n
(E) ∼ sup
e∈E
kx
∗
− x
◦
n
k
C
2π
∼ sup
x∈X
∗
kx − Φ
m
xk
C
2π
,
x
◦
n
= (E − Φ
m
A)
−1
Φ
m
y
2;
P
◦
n
∈ P
(2)
n
(C
2π
,
T
m
) kP
◦
n
k
C
2π
→C
2π
= ( ln n ),
n → ∞ 2.
P
(2)
n
(C
2π
,
T
m
) P
(1)
n
(C
2π
,
T
m
)
P
2
n
= P
n
2.3.
X
n
, Y
n
n ∈ N
1.2
◦
1.5
◦
Kx ≡ Gx + T x = y (x ∈ X, y ∈ Y ), (2.1)
K
n
x
n
≡ G
n
x
n
+ T
n
x
n
= y
n
(x
n
∈ X
n
, y
n
∈ Y
n
), (2.2)
      Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
      à) åñëè âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé

              sup kE − (E − Φm A)−1 Φm AkC2π →C2π = , ∼ , ³ 1,
              K∈K

òî ìåòîä Ãàëåðêèíà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x − Ax = y ñ ïðèáëèæåííûì
ðåøåíèåì x◦n = (E − Φm A)−1 Φm y ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì â ñìûñëå
îïðåäåëåíèÿ 2 ;
     á) åñëè kAkL2 →C2π 6 const , ãäå L2 = L2 (0, 2π) ñ îáû÷íîé íîðìîé,
òî
            Un (E) ∼ sup kx∗ − x◦n kC2π ∼ sup kx − Φm xkC2π ,
                        e∈E                 x∈X ∗

è ìåòîä Ãàëåðêèíà ñ ïðèáëèæåíûì ðåøåíèåì x◦n = (E − Φm A)−1 Φm y
ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûì â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2;
      â) ëþáîé ïîëèíîìèàëüíûé ïðîåêöèîííûé ìåòîä ñ îïåðàòîðîì
        (2)
Pn◦ ∈ Pn (C2π , IHTm ) , óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ kPn◦ kC2π →C2π = O ( ln n ),
n → ∞ , ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.
                                     (2)               (1)
      Îòìåòèì, ÷òî ïðè çàìåíå Pn (C2π , IHTm ) íà Pn (C2π , IHTm ) íè îäíî
èç óòâåðæäåíèé òåîðåìû 2.8 íå âåðíî, ò. å. íè ìåòîä Ãàëåðêèíà, íè ëþáîé
äðóãîé ïîëèíîìèàëüíûé ìåòîä ñ ïðîåêöèîííûì ( Pn2 = Pn ) îïåðàòîðîì íå
ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì äàæå ïî ïîðÿäêó ñðåäè âñåõ ïîëèíîìèàëüíûõ ìå-
òîäîâ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé II ðîäà â ïðîñòðàíñòâàõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.
 óêàçàííîì ñëó÷àå îïòèìàëüíûå ïî ïîðÿäêó ïîëèíîìèàëüíûå ìåòîäû ïî-
ñòðîåíû â ãë. IV êíèãè [10], à òàêæå â ðàáîòàõ [25], [26] è, åñòåñòâåííî, îíè
óæå íå ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèîííûìè.


                    2.3. Ñëó÷àé ôèêñèðîâàííûõ óðàâíåíèé

     Òåïåðü, ñ ó÷åòîì ïðèëîæåíèé, ïðèâåäåì íåêîòîðûå ðåàëèçàöèè óêà-
çàííûõ âûøå òåîðåì â ñëó÷àå ôèêñèðîâàííûõ óðàâíåíèé (1.1) è ôèêñèðî-
âàííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Xn , Yn (ïðè êàæäîì n ∈ N ). Ðàññìîòðèì ëèøü
âàæíûé äëÿ ïðèëîæåíèé ñëó÷àé óðàâíåíèé, ïðèâîäÿùèõñÿ ê óðàâíåíèÿì
âòîðîãî ðîäà. Òîãäà óðàâíåíèÿ (1.1), (1.2), ( 1.2◦ ), (1.5), ( 1.5◦ ) ïðèíèìàþò
âèä ñîîòâåòñòâåííî

                    Kx ≡ Gx + T x = y (x ∈ X, y ∈ Y ),                    (2.1)

              Kn xn ≡ Gn xn + Tn xn = yn (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn ),            (2.2)

Страницы