Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

V
n
(E) ∼ inf
H
n
∈H
n
kK
−1
(H − H
n
)K
−1
k ≡ a
n
, (3.8)
(3.2
◦
),
kK
−1
(H − H
◦
n
)K
−1
k ∼ a
n
, kK
◦
n
−1
(H − H
◦
n
)K
◦
n
−1
k ∼ a
n
, (3.9)
E
Z
∗
0
≡ K
−1
HS(0, 1)
d
n
(Z
∗
0
) 6 V
n
(E) ³ s
n
(H), (3.10)
(3.2
◦
),
kH − H
◦
n
k ³ s
n
(H), kH − H
◦
n
k ³ d
n
(Z
∗
0
),
E.
3.2
◦
H
n
= P
n
H H
◦
n
= P
◦
n
H P
n
P
◦
n
∈ L(X)
n
Z
∗
1
≡ HK
−1
S(0, 1)
λ
n
(Z
∗
1
) ³ V
n
(E) 6 V (E; H
◦
n
) = O(kH − P
◦
n
Hk), (3.11)
3.2
◦
H
◦
n
= P
◦
n
H
kH − H
◦
n
k ³ λ
n
(Z
∗
1
) E
Z
∗
, Z
∗
0
Z
∗
1
H
Y
∗
= {y
∗
}
(3.1) (3.2)
kHk 6 q < 1, kH
n
k 6 q < 1 (n = 1, 2, . . .), (3.12)
     Òåîðåìà 3.3. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà ñèëüíîé ýêâèâàëåíòíîñòè

                 Vn (E) ∼ inf      kK −1 (H − Hn )K −1 k ≡ an ,             (3.8)
                          Hn ∈Hn

è ìåòîä (3.2◦ ), óäîâëåòîðÿþùèé ëþáîìó èç óñëîâèé

      kK −1 (H − Hn◦ )K −1 k ∼ an ,    kKn◦ −1 (H − Hn◦ )Kn◦ −1 k ∼ an ,    (3.9)

ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûì íà êëàññå E .

     Òåîðåìà 3.4. Ïîëîæèì Z0∗ ≡ K −1 HS(0, 1) . Òîãäà

                          dn (Z0∗ ) 6 Vn (E) ³ sn (H),                     (3.10)

è ìåòîä (3.2◦ ), óäîâëåòîðÿþùèé ëþáîìó èç óñëîâèé

                kH − Hn◦ k ³ sn (H),      kH − Hn◦ k ³ dn (Z0∗ ),

ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî ïîðÿäêó íà êëàññå E.
     Òåïåðü íåñêîëüêî ñóçèì òàêæå êëàññ äîïóñêàåìûõ ê "êîíêóðåíöèè"
ìåòîäîâ (3.2), ( 3.2◦ ), ïîëàãàÿ Hn = Pn H , Hn◦ = Pn◦ H , ãäå Pn è Pn◦ ∈ L(X)
 ëèíåéíûå îïåðàòîðû ðàçìåðíîñòè íå âûøå n .

     Òåîðåìà 3.5. Ïîëîæèì Z1∗ ≡ HK −1 S(0, 1) . Òîãäà ñïðàâåäëèâû
îöåíêè
              λn (Z1∗ ) ³ Vn (E) 6 V (E; Hn◦ ) = O(kH − Pn◦ Hk),           (3.11)
è ìåòîä ( 3.2◦ ) ñ îïåðàòîðîì Hn◦ = Pn◦ H , óäîâëåòîðÿþùèì óñëîâèþ
kH − Hn◦ k ³ λn (Z1∗ ) , îïòèìàëåí ïî ïîðÿäêó íà êëàññå E .
      Â òåîðåìàõ 3.23.5 ñóùåñòâåííûì îáðàçîì èñïîëüçîâàíû óñëî-
âèå (3.3) è êîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâ Z ∗ , Z0∗ è Z1∗ , ÷òî äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò
ïîëíîé íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà H . Ïðè íàðóøåíèè ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ
ýòè òåîðåìû, âîîáùå ãîâîðÿ, óæå íå èìåþò ìåñòà. Òåì íå ìåíåå â ñëó÷àå
êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà Y ∗ = {y ∗ } ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè íåêîòîðûõ
èç óêàçàííûõ òåîðåì. Äëÿ ïðèìåðà îñòàíîâèìñÿ íà ñëåäóþùåì ðåçóëüòà-
òå.

     Òåîðåìà 3.6. Ïóñòü óðàâíåíèÿ (3.1) è (3.2) òàêîâû, ÷òî

               kHk 6 q < 1,        kHn k 6 q < 1 (n = 1, 2, . . .),        (3.12)

Страницы