Статистические методы системного анализа. Гаибова Т.В - 9 стр.

     Метод главных компонент – это один из широко использующихся
методов многомерной математической статистики. Он применяется для
решения следующих задач:
       - причинный анализ взаимосвязей показателей и определение их
стохастической связи с главными компонентами;
       - построение обобщенных технико-экономических показателей;
       - ранжирование объектов или наблюдений по главным
компонентам;
       - классификация объектов наблюдений;
       - сжатие исходной информации;
       - построение уравнений регрессии по обобщенным технико-
экономическим показателям.
       В общем виде задача снижения размерности признакового
пространства и построения интегрального показателя       может быть
сформулирована следующим образом.
       Пусть N - число исследуемых объектов;
       n - число признаков (измеряемых характеристик объектов -
критериев);
       матрица Y порядка n × N - совокупность всех N наблюдаемых
значений всех параметров n после нормализации.
       Необходимо описать набор критериев n числом главных
компонент m << n , обеспечивающих долю дисперсии γ ≥ 0,95 и
сформировать интегральный показатель оптимальности на основе матрицы
A весовых коэффициентов, учитывающих тесноту связи между
исходными критериями и главными компонентами.
       Y = A ⋅ F , где матрица F включает совокупность всех N
полученных значений всех n главных компонент.
       Или в развернутом матричном виде:
            y11    y12    ... y1N   a11       a12    ... a1N        f11    f 12   ...   f1N 
                                                                                              
            y 21   y 22   ... y 2 N   a 21    a 22   ... a 2 N      f 21   f 22   ...   f 2N 
            ...                      =                            ⋅                                   (9)
                    ...    ... ...   ...        ...   ... ...        ...    ...    ...    ... 
                                                                                              
           y       yn2    ... y nN   a n1   an2    ... a nN     f n1   f n2   ...   f nN 
            n1
          Задача сводится к определению матрицы A .
          Для исследования начальными основными данными являются
коэффициенты корреляции.
          Связь между главными компонентами и коэффициентами
корреляции для объекта i :
                     y ji = a j1 f1i + a j 2 f 2i + ... + a jn f ni ; i = 1,2,..., N , (10)
          где y ji - нормированное значение j -го критерия для i -го объекта;
 f1i - значение первой главной компоненты для i -го объекта.
          Для устранения неоднородности рассматриваемых критериев
может быть использован следующий вид нормализации:


9