Относительное движение материальной точки. Теоретическая механика. Галаев В.И - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
−ω−
ω
ϕ
−=
ω−ω−
ω
ϕϕ
=
.
2
sin
)2cos1(
4
cos
,)22cos1(
4
cossin
22
2
2
22
2
gt
t
g
hz
tt
g
y
e
e
ee
e
(8.16)
При падении с небольшой высоты величина ω
e
t мала, поэтому разложим тригонометрические функции sin2ω
e
t, cos2ω
e
t в
ряд Маклорена, пренебрегая членами (ω
e
t)
n
n > 4. В результате получим приближенные формулы
ω
ωϕ
+ω
ω
−=
ω
ω
ϕ
=ω
ω
ϕ
=
.
6
)(cos
)(
2
,)(
12
2sin
,)(
3
cos
2
42
2
2
4
2
3
2
e
e
e
e
e
e
e
e
tg
t
g
hz
t
g
yt
g
x
(8.17)
Полагая z = 0, находим из третьего уравнения системы (8.17) (ω
e
t)
2
,0
2
)(
)(
6
cos
2
4
2
=β+
ω
−ω
ϕ
R
ht
t
e
e
,
290
1
2
≈
ω
=β
g
R
e
.cos
3
8
11
cos2
3
)(
2
2
2
β
ϕ−−
ϕ
=ω
R
h
t
e
Знак минус перед квадратным корнем выбран вследствие того, что при h = 0, ω
e
t = 0.
Используя формулу
,)1(2/11 <+≈+ xxx
находим приближенные формулы
,
2
3
cos
2
3
cos
,
2
)(
2/3
2/3
2
2
ϕω
=
β
ω
ϕ
=
β
=ω
g
h
g
R
hg
x
R
h
t
e
e
e
.
3
sin2
12
2sin
2
2
1
R
hh
R
hg
y
e
βϕ
−=
β
ω
ϕ
−=
Таким образом, материальная точка, свободно падающая на Землю, отклоняется к востоку на
величину х
1
; величина y
1
< 0 соответствует отклонению точки к югу. Так как β ≈ 1/290, отношение
h / R мало, то величина y
1
есть малая второго порядка по отношению к х
1
, причём
Rhxy 2/sin/
11
βϕ=
(рис. 8).
8.5. Маятник Фуко
Если материальная точка подвешена на нити, отклонена и отпущена без начальной скорости и её движение
рассматривается относительно Земли, то будем иметь так называемый маятник Фуко, движение которого явилось одним из
доказательств вращения Земли (1851 г.).
Рассмотрим простую схему опыта. Пусть наблюдатель сидит на стуле, равномерно вращающемся вокруг вертикальной
оси в направлении против хода часовой стрелки (если смотреть сверху) с угловой скоростью ω; со стулом жёстко соединён
столик, над которым подвешен маятник; на конце груза маятника вделана чернильница, в дне которой тонкое отверстие с
насадкой для истечения чернил; на столике натянут лист белой бумаги.
Маятник оттянут в вертикальной плоскости и отпущен без начальной скорости. Если бы стул
со столиком не вращались, то маятник колебался бы в этой вертикальной плоскости и на листе
бумаги был бы вычерчен отрезок неизменной прямой. При вращении стула со столиком на бумаге
вычерчивается розетка (рис. 9); таково наблюдаемое явление. Указанная схема эквивалентна
маятнику Фуко, колеблющемуся на полюсе.
В неподвижной системе координат нет сил, которые заставили бы маятник изменить
плоскость качания, и он будет сохранять её неизменной в пространстве, а диск (или Земля)
поворачивается под ним. Очевидно, что на полюсе плоскость колебаний маятника будет вращаться
с угловой скоростью вращения Земли в направлении, противоположном вращению Земли.
Если же отнести колебания маятника на полюсе к системе координат, связанной с Землёй, то
вращение плоскости колебаний можно представить себе как результат действия кориолисовой силы инерции, которая
перпендикулярна к плоскости вращения и расположена всё время в горизонтальной плоскости. Эта сила пропорциональна
с
Φ
r
z
y
1
y
h
0
x
1
M
Рис. 8
Рис. 9
с
Φ
r
ω
e
M
0

Страницы