Методические указания по линейной алгебре. Гармаев В.Д - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

2
-1 -3 0 1 -3
3 2
3
⋅2-1=5 3⋅5-3=12 3⋅12+0=
=36
3⋅36+1=
=109
3⋅109-3=324
Таким образом, частное
109361252)(
234
++++= xxxxxq и остаток r=f(3)=324.
Из примера следует, что метод Горнера может исполь-
зоваться для быстрого вычисления значения многочлена f(x)
при х=с.
Пусть х=с является корнем многочлена f(x), тогда f(x)
делится на х-с, но может оказаться, что f(x) делится на более
высокие степени
k
cx )( −
, но не делится на
1
)(
+
−
k
cx
, т.е.
)()()( xqcxxf
k
−= , где q(x) на х-с не делится.
Число k называется кратностью корня.
Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с лю-
быми числовыми коэффициентами степень которого не
меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае
комплексный.
Как следствие получаем, что любой многочлен
nn
nn
axaxaxaxf +++++=
−
−
1
1
10
...)( с любыми числовыми
коэффициентами представим в виде
))...()(()(
210 n
xxxaxf
α
α
α
−
−
−
=
, где
n
α
α
α
,....,
21
-
корни f(x). Если среди корней есть кратные, то
m
k
m
kk
xxxaxf )...()()()(
2
2
1
10
ααα
−−−= ,
где nkkk
m
=
+
+
+
...
21
.
Формулы Виета. Пусть дан многочлен
nn
nnn
axaxaxaxxf +++++=
−
−−
1
2
2
1
1
...)( и пусть
n
α
α
α
,....,
21
- его корни, тогда существует следующая связь
между коэффициентами и корнями многочлена
(
)
,...
211 n
a
α
α
α
+
+
+
−
=
,......
132131212 nnn
a
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
−
+
+
+
+
+
+
=
(
)
,...
124213213 nnn
a
α
α
α
α
α
α
α
α
α
−−
+
+
+
−
=
- - - - - - - - - - - -
(
)
,.........)1(
32121
1
1 nn
n
n
a
αααααα
++−=
−
−
−
....)1(
21 n
n
n
a
ααα
−=
Пример. Найти многочлен, имеющий корни
.3,2,5
4321
=
=
−
=
=
α
α
α
α
9033)2(5
,33]33)2(3353)2(53)2(5[
,17333)2(3)2(3535)2(5
,9)3325(
4
3
2
1
−=⋅⋅−⋅=
=⋅⋅−+⋅⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−=
=⋅+⋅−+⋅−+⋅+⋅+−=
−
=
+
+
−
−
=
a
a
a
a
9033179)(
234
−++−= xxxxxf 
         -1        -3                          0             1            -3               f ( x) = a0 ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ) , где α1 ,α 2 ,....α n -
  2
                                                                               корни        f(x).   Если       среди       корней        есть       кратные,      то
         3⋅2-1=5   3⋅5-3=12          3⋅12+0=       3⋅36+1=       3⋅109-3=324
3 2                                  =36           =109                        f ( x) = a0 ( x − α1 ) k1 ( x − α 2 ) k2 ...( x − α m ) km ,
       Таким образом, частное                                                  где    k1 + k 2 + ... + k m = n .
q ( x) = 2 x 4 + 5 x 3 + 12 x 2 + 36 x + 109 и остаток r=f(3)=324.                     Формулы                Виета.        Пусть             дан        многочлен
       Из примера следует, что метод Горнера может исполь-                     f ( x) = x n + a1 x n−1 + a 2 x n−2 + ... + a n−1 x + a n            и          пусть
зоваться для быстрого вычисления значения многочлена f(x)
                                                                               α1 , α 2 ,....α n - его корни, тогда существует следующая связь
при х=с.
                                                                               между коэффициентами и корнями многочлена
       Пусть х=с является корнем многочлена f(x), тогда f(x)
                                                                                        a1 = −(α1 + α 2 + ... + α n ),
делится на х-с, но может оказаться, что f(x) делится на более
                                                                                        a 2 = α1α 2 + α1α 3 + ... + α1α n + α 2α 3 + ... + α n−1α n ,
высокие степени ( x − c) k , но не делится на ( x − c) k +1 , т.е.
                                                                                        a3 = −(α1α 2α 3 + α1α 2α 4 + ... + α n−2α n−1α n ),
f ( x) = ( x − c) k q ( x) , где q(x) на х-с не делится.
                                                                                       -       -    -     -     -      -    -      -     -      -    -     -
       Число k называется кратностью корня.
                                                                                        a n−1 = (−1) n−1 (α1α 2 ...α n−1 + ... + α 2α 3 ...α n ),
       Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с лю-
быми числовыми коэффициентами степень которого не                                       a n = (−1) n α1α 2 ...α n .
меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае                               Пример.          Найти          многочлен,             имеющий          корни
комплексный.                                                                   α1 = 5,α 2 = −2,α 3 = α 4 = 3.
       Как следствие получаем, что любой многочлен
                                                                                        a1 = −(5 − 2 + 3 + 3) = −9,
              n        n −1
f ( x) = a0 x + a1 x          + +... + a n−1 x + a n с любыми числовыми                 a 2 = 5(−2) + 5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 3 + (−2) ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = 17,
коэффициентами представим в виде                                                        a3 = −[5 ⋅ (−2) ⋅ 3 + 5 ⋅ (−2) ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 3 ⋅ 3] = 33,
                                                                                        a 4 = 5 ⋅ (−2) ⋅ 3 ⋅ 3 = −90
                                                                                           f ( x) = x 4 − 9 x 3 + 17 x 2 + 33 x − 90

Страницы