Методические указания по линейной алгебре. Гармаев В.Д - 10 стр.

UptoLike

Рубрика: 

2
-1 -3 0 1 -3
3 2
3
2-1=5 35-3=12 312+0=
=36
336+1=
=109
3109-3=324
Таким образом, частное
109361252)(
234
++++= xxxxxq и остаток r=f(3)=324.
Из примера следует, что метод Горнера может исполь-
зоваться для быстрого вычисления значения многочлена f(x)
при х=с.
Пусть х=с является корнем многочлена f(x), тогда f(x)
делится на х-с, но может оказаться, что f(x) делится на более
высокие степени
k
cx )(
, но не делится на
1
)(
+
k
cx
, т.е.
)()()( xqcxxf
k
= , где q(x) на х-с не делится.
Число k называется кратностью корня.
Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с лю-
быми числовыми коэффициентами степень которого не
меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае
комплексный.
Как следствие получаем, что любой многочлен
nn
nn
axaxaxaxf +++++=
1
1
10
...)( с любыми числовыми
коэффициентами представим в виде
))...()(()(
210 n
xxxaxf
α
α
α
=
, где
n
α
α
α
,....,
21
-
корни f(x). Если среди корней есть кратные, то
m
k
m
kk
xxxaxf )...()()()(
2
2
1
10
ααα
= ,
где nkkk
m
=
+
+
+
...
21
.
Формулы Виета. Пусть дан многочлен
nn
nnn
axaxaxaxxf +++++=
1
2
2
1
1
...)( и пусть
n
α
α
α
,....,
21
- его корни, тогда существует следующая связь
между коэффициентами и корнями многочлена
(
)
,...
211 n
a
α
α
α
+
+
+
=
,......
132131212 nnn
a
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
+
+
+
+
+
+
=
(
)
,...
124213213 nnn
a
α
α
α
α
α
α
α
α
α
+
+
+
=
- - - - - - - - - - - -
(
)
,.........)1(
32121
1
1 nn
n
n
a
αααααα
++=
....)1(
21 n
n
n
a
ααα
=
Пример. Найти многочлен, имеющий корни
.3,2,5
4321
=
=
=
=
α
α
α
α
9033)2(5
,33]33)2(3353)2(53)2(5[
,17333)2(3)2(3535)2(5
,9)3325(
4
3
2
1
==
=+++=
=+++++=
=
+
+
=
a
a
a
a
9033179)(
234
++= xxxxxf