ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Получаем, что d(x)=x-2.
dx qx x x x() () ( ) ;=−−++−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
49
235
49
235
7124
1
7
54
49
2
−++= − ⇒7124
2
xx fxqx() ()
dx qx f x qx x() () () () ;=− −−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
49
235
49
235
1
7
54
49
dx qx f x x qx x() () () () ;=− −−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
49
235
49
235
1
7
54
49
49
235
1
7
54
49
dx f x x qx x() () () ;=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
49
235
1
7
54
49
49
235
1
1
7
54
49
dx f x x qx x() () () ;=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
7
235
54
235
7
235
5
235
Следовательно:
Ux x Vx x() , () .=+ =−−
7
235
54
235
7
235
5
235
Пусть дан многочлен fx ax ax a
nn
n
() ...=+ ++
−
01
1
и с
- некоторое число. Тогда fc ac ac a
nn
n
() ...=+ ++
−
01
1
называ-
ется выражением многочлена f(x) при х=с. Если f(c)=0, то
число с называется корнем многочлена f(x) или уравнения
f(x)=0.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена f(x) на
многочлен х-с равен значению многочлена f(x) при х=с, т.е.
r=f(c).
Следовательно, число с является корнем многочлена
f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится нацело на много
-
член х-с. Таким образом, разыскание корней многочлена свя-
зано с нахождением его линейных делителей.
Рассмотрим метод деления многочлена f(x) на линей-
ный многочлен х-с, называмый методом Гарнера. Пусть
fx ax ax ax a
nn n
n
( ) ...=+ + ++
−
−
01
1
2
2
и пусть f(x)=(x-c)q(x)+r, где
qx bx bx bx b
nn n
n
( ) ... .=++++
−
−
−
−
0
1
1
2
2
3
1
Сравнивая коэффициенты при равных степенях, по-
лучаем:
.
,,...,,,
1
21112201100
−
−−−
−=
−=
−
=
−
=
=
nn
nnn
cbra
cbbacbbacbbaba
Отсюда следует, что
babcbabcba b cb a
nnn001 012 12 1 2 1
=
=
+
=
+
=
+
−
−−
, , ,..., , и
наконец,
rcb a
nn
=
+
−
1
. Таким образом, производятся однотип-
ные вычисления, которые располагаются в схему.
Пример. Разделить
332)(
345
−+−−= xxxxxf
на х-3.
Составим таблицу, в которой над чертой расположены
коэффициенты многочлена f(x), под чертой – коэффициенты
частного q(x) и остаток – r, а слева сбоку – значение с из дву-
члена х-с:
Получаем, что d(x)=x-2. Следовательно, число с является корнем многочлена
49 49 ⎛ 1 54 ⎞ f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится нацело на много-
d ( x) = q( x) − ( −7 x 2 + 12 x + 4)⎜ − x − ⎟ ;
235 235 ⎝ 7 49 ⎠ член х-с. Таким образом, разыскание корней многочлена свя-
−7 x 2 + 12 x + 4 = f ( x ) − q ( x ) ⇒ зано с нахождением его линейных делителей.
49 ⎛ 54 ⎞ ⎞ Рассмотрим метод деления многочлена f(x) на линей-
49 ⎛ 1
d ( x) = q( x) − ⎜ f ( x ) − q ( x )⎜ − x − ⎟ ⎟ ;
235 235 ⎝ ⎝ 7 49 ⎠ ⎠ ный многочлен х-с, называмый методом Гарнера. Пусть
49 49 ⎛ 1 54 ⎞ 49 ⎛ 1 54 ⎞ f ( x ) = a0 x n + a1x n −1 + a2 x n − 2 +...+ an
d ( x) = q( x) − f ( x )⎜ − x − ⎟ + q ( x )⎜ − x − ⎟ ;
235 235 ⎝ 7 49 ⎠ 235 ⎝ 7 49 ⎠ и пусть f(x)=(x-c)q(x)+r, где
49 ⎛ 1 54 ⎞ 49 ⎛ 1 54 ⎞ q ( x ) = b0 x n −1 + b1x n − 2 + b2 x n − 3 +...+bn −1.
d ( x) = f ( x) ⎜ x + ⎟ + q( x) ⎜1 − x − ⎟ ;
235 ⎝ 7 49 ⎠ 235 ⎝ 7 49 ⎠
Сравнивая коэффициенты при равных степенях, по-
⎛ 7 54 ⎞ ⎛ 7 5 ⎞
d ( x ) = f ( x )⎜ x+ ⎟ + q ( x )⎜ − x− ⎟; лучаем:
⎝ 235 235⎠ ⎝ 235 235⎠
a0 = b0 , a1 = b1 − cb0 , a 2 = b2 − cb1 ,..., a n −1 = bn −1 − cbn−2 ,
Следовательно:
a n = r − cbn −1 .
7 54 7 5
U ( x) = x+ , V ( x) = − x− . Отсюда следует, что
235 235 235 235
b0 = a 0 , b1 = cb0 + a1 , b2 = cb1 + a 2 ,..., bn − 1 = cbn − 2 + a n − 1 , и
Пусть дан многочлен f ( x ) = a0 x n + a1x n −1 +...+ an и с
наконец,
n n −1
- некоторое число. Тогда f (c) = a0c + a1c +...+ an называ- r = cbn −1 + an . Таким образом, производятся однотип-
ется выражением многочлена f(x) при х=с. Если f(c)=0, то ные вычисления, которые располагаются в схему.
число с называется корнем многочлена f(x) или уравнения
Пример. Разделить f ( x) = 2 x 5 − x 4 − 3 x 3 + x − 3
f(x)=0.
на х-3.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена f(x) на
Составим таблицу, в которой над чертой расположены
многочлен х-с равен значению многочлена f(x) при х=с, т.е.
коэффициенты многочлена f(x), под чертой – коэффициенты
r=f(c).
частного q(x) и остаток – r, а слева сбоку – значение с из дву-
члена х-с:
