ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
315 2727
32
x
x
x
+
++
310 23
32
x
x
x
+
+−
52530
2
x
x
+
+
Остаток 52530
2
x
x
++ сократим на 5:
rx x x
1
2
56()=++. Делим q(x ) на
x
x
2
56
+
+
.
65
2
++ xx 310 23
32
x
x
x
+
+−
31518
32
x
x
x
+
+
53
−
x
−−−
−−−
5163
52530
2
2
xx
xx
927
x
+
Остаток 927
x
+ сократим на 9: rx x
2
3()
=
+
. Делим
rx x x
1
2
6()=++ на rx x
2
3()=+
3
+
x
x
x
2
56
+
+
x
x
2
3
+
2
+
x
26
26
x
x
+
+
0
Последний остаток, на который разделился предыду-
щий остаток
rx x
2
3()=+, поэтому
(f(x),q(x ))=х +3.
Наибольший общий делитель двух многочленов опре-
деляется с точностью до множителя нулевой степени, поэто-
му в процессе его нахождения, чтобы избежать дробных ко-
эффициентов, можно умножать делимое или сократить дели-
тель на любое не равное нулю число, причем не только на-
чиная какое-либо из последовательных делений, но
и в про-
цессе этого деления.
По иному дело обстоит в следующей ситуации: если
d(x) есть НОД многочленов f(x) и q(x ), то можно найти такие
многочлены U(x) и V(x), что
При этом, если степени f(x) и q(x ) больше нуля, то
степень U(x) меньше степени q(x ), а степень V(x) меньше
степени f(x). Для нахождения U(x) и V(x) используется алго-
ритм Евклида, но при этом
уже нельзя допускать искажения
частных и остатков.
Пример: Найти многочлены U(x) и V(x), удовлетво-
ряющие равенству
fxUx qxVx dx() () () () ()
⋅
+
⋅
=
, если
fx x x x qx x x x() () .=−+− =+ −−
32 3 2
310 6 914,
Применим алгоритм Евклида:
fx qx x x() () ( ),=+−++7124
2
qx x x x x() ( ) ( )=− + + − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−7124
1
7
54
49
235
49
2
2
;
−++=−−−7124 272
2
xx x x()( )
Наибольший общий делитель двух многочленов опре-
3x 3 + 15x 2 + 27 x + 27 деляется с точностью до множителя нулевой степени, поэто-
3x 3 + 10 x 2 + 2 x − 3
му в процессе его нахождения, чтобы избежать дробных ко-
эффициентов, можно умножать делимое или сократить дели-
5x 2 + 25x + 30
тель на любое не равное нулю число, причем не только на-
Остаток 5x 2 + 25x + 30 сократим на 5:
чиная какое-либо из последовательных делений, но и в про-
2 2
r1 ( x ) = x + 5x + 6 . Делим q(x ) на x + 5x + 6 . цессе этого деления.
3x 3 + 10 x 2 + 2 x − 3 x2 + 5x + 6 По иному дело обстоит в следующей ситуации: если
3x 3 + 15x 2 + 18 x 3x − 5 d(x) есть НОД многочленов f(x) и q(x ), то можно найти такие
многочлены U(x) и V(x), что
− 5x 2 − 16 x − 3
При этом, если степени f(x) и q(x ) больше нуля, то
− 5x 2 − 25x − 30
степень U(x) меньше степени q(x ), а степень V(x) меньше
9 x + 27
степени f(x). Для нахождения U(x) и V(x) используется алго-
Остаток 9 x + 27 сократим на 9: r2 ( x ) = x + 3 . Делим
ритм Евклида, но при этом уже нельзя допускать искажения
2
r1 ( x ) = x + x + 6 на r2 ( x ) = x + 3 частных и остатков.
x 2 + 5x + 6 x+3 Пример: Найти многочлены U(x) и V(x), удовлетво-
x 2 + 3x x+2 ряющие равенству
2x + 6 f ( x ) ⋅ U ( x ) + q ( x ) ⋅V ( x ) = d ( x ) , если
2x + 6 f ( x ) = x 3 − x 2 + 3x − 10, q ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 9 x − 14.
0
Применим алгоритм Евклида:
Последний остаток, на который разделился предыду-
f ( x ) = q ( x ) + ( −7 x 2 + 12 x + 4),
щий остаток r2 ( x ) = x + 3 , поэтому
⎛ 1 54 ⎞ 235
(f(x),q(x ))=х +3. q ( x ) = ( −7 x 2 + 12 x + 4)⎜ − x − ⎟ + ( x − 2) ;
⎝ 7 49 ⎠ 49
−7 x 2 + 12 x + 4 = ( x − 2)( −7 x − 2)
