ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Наибольший общий делитель двух многочленов опре-
3x 3 + 15x 2 + 27 x + 27 деляется с точностью до множителя нулевой степени, поэто-
3x 3 + 10 x 2 + 2 x − 3
му в процессе его нахождения, чтобы избежать дробных ко-
эффициентов, можно умножать делимое или сократить дели-
5x 2 + 25x + 30
тель на любое не равное нулю число, причем не только на-
Остаток 5x 2 + 25x + 30 сократим на 5:
чиная какое-либо из последовательных делений, но и в про-
2 2
r1 ( x ) = x + 5x + 6 . Делим q(x ) на x + 5x + 6 . цессе этого деления.
3x 3 + 10 x 2 + 2 x − 3 x2 + 5x + 6 По иному дело обстоит в следующей ситуации: если
3x 3 + 15x 2 + 18 x 3x − 5 d(x) есть НОД многочленов f(x) и q(x ), то можно найти такие
многочлены U(x) и V(x), что
− 5x 2 − 16 x − 3
При этом, если степени f(x) и q(x ) больше нуля, то
− 5x 2 − 25x − 30
степень U(x) меньше степени q(x ), а степень V(x) меньше
9 x + 27
степени f(x). Для нахождения U(x) и V(x) используется алго-
Остаток 9 x + 27 сократим на 9: r2 ( x ) = x + 3 . Делим
ритм Евклида, но при этом уже нельзя допускать искажения
2
r1 ( x ) = x + x + 6 на r2 ( x ) = x + 3 частных и остатков.
x 2 + 5x + 6 x+3 Пример: Найти многочлены U(x) и V(x), удовлетво-
x 2 + 3x x+2 ряющие равенству
2x + 6 f ( x ) ⋅ U ( x ) + q ( x ) ⋅V ( x ) = d ( x ) , если
2x + 6 f ( x ) = x 3 − x 2 + 3x − 10, q ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 9 x − 14.
0
Применим алгоритм Евклида:
Последний остаток, на который разделился предыду-
f ( x ) = q ( x ) + ( −7 x 2 + 12 x + 4),
щий остаток r2 ( x ) = x + 3 , поэтому
⎛ 1 54 ⎞ 235
(f(x),q(x ))=х +3. q ( x ) = ( −7 x 2 + 12 x + 4)⎜ − x − ⎟ + ( x − 2) ;
⎝ 7 49 ⎠ 49
−7 x 2 + 12 x + 4 = ( x − 2)( −7 x − 2)
