Методические указания по линейной алгебре. Гармаев В.Д - 6 стр.

                                                                                            Число z называется корнем степени n из числа ω
                                                                    y
                                                                                     (обозначение n ω ), если z n = ω . Пусть
                                                                                             z = ρ (cosψ + sin ψ ), ω = r (cosϕ + i sin ϕ ), то-
                                                                    0
                                                                                     гда ρ n (cos nψ + sin nψ ) = r (cosϕ + i sin ϕ ). Следовательно,
                                                      -2       -1       x
                                                                                                                                   ϕ + 2π k
                                                                                     ρ n = r , nψ = ϕ + 2π k или ρ = n r ,ψ =                 , k ∈ z.
                                                                                                                                       n
                                                                                            Получаем         все     решения        уравнения            zn = ω :
         Из формулы для умножения комплексных чисел, за-
                                                                                              ⎛     ϕ + 2π k         ϕ + 2π k ⎞
данных в тригонометрической форме можно получить фор-                                zk = n r ⎜ cos          + i sin          ⎟ , k = 0, n − 1
                                                                                              ⎝        n                n ⎠
мулу возведения в степень комплексного числа. Пусть
                                                           n    n
                                                                                            Пример: Найти все значения 4 − 16 .
          z = r (cosϕ + i sin ϕ )       , тогда        z = r (cos nϕ + i sin ϕ ) ,
                                                                                             ω = −16 = 16(cos π + i sin π ), следовательно
которая справедлива не только при положительных n, но и
                                                                                           ⎛     π + 2π k         π + 2π k ⎞
при любых целых, т.е. n ∈ z .                                                        zk = 2⎜ cos          + i sin          ⎟ , k = 0,3.
                                                                                           ⎝        4                4 ⎠
         Пример. Возвести в девятую степень число z = 3 − i .                               Или, подробнее
Имеем r = 3 + 1 = 2;                                                                               ⎛    π       π⎞
                                                                                             z0 = 2⎜ cos + i sin ⎟ = 2 + 2i ,
            3            1       π                                                                 ⎝    4       4⎠
cosϕ =        ; sin ϕ = − ; ϕ = − . Следовательно
           2             2       6                                                         ⎛     3π        3π ⎞
                                                                                     z1 = 2⎜ cos    + i sin ⎟ = − 2 + 2i ,
                                                                                           ⎝      4         4⎠
     ⎛ ⎛ π⎞            ⎛ π ⎞⎞
z = 2⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ ⎟ , и получаем:
     ⎝ ⎝ 6⎠            ⎝ 6 ⎠⎠                                                                      ⎛    5π      5π ⎞
                                                                                             z2 = 2⎜ cos + i sin ⎟ = − 2 − 2i ,
                                                                                                   ⎝     4       4⎠
           ⎛ ⎛ ⎛ π ⎞⎞                    ⎛ ⎛ π ⎞⎞⎞
z 9 = 2 9 ⎜⎜ cos⎜⎜ 9 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟⎟ + i sin ⎜⎜ 9 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ =                                     7π        7π ⎞
           ⎝ ⎝ ⎝ 6 ⎠⎠                    ⎝ ⎝ 6 ⎠⎠⎠                                         ⎛
                                                                                     z3 = 2⎜ cos    + i sin ⎟ = 2 − 2i.
                                                                                           ⎝      4         4⎠
      ⎛ ⎛ 3π ⎞           ⎛ 3π            ⎞⎞
= 512⎜⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin ⎜ −             ⎟ ⎟⎟ = −512i.
      ⎝ ⎝ 2 ⎠            ⎝ 2             ⎠⎠