Методические указания по линейной алгебре. Гармаев В.Д - 6 стр.

UptoLike

Рубрика: 

Из формулы для умножения комплексных чисел, за-
данных в тригонометрической форме можно получить фор-
мулу возведения в степень комплексного числа. Пусть
zr i
=
+(cos sin )
ϕ
ϕ
, тогда zr ni
nn
=+(cos sin )
ϕϕ
,
которая справедлива не только при положительных n, но и
при любых целых, т.е. nz .
Пример
. Возвести в девятую степень число zi=−3 .
Имеем r =+=31 2;
cos sin ; .
ϕϕϕ
π
===
3
2
1
26
;
Следовательно
zi=−
+−
2
66
cos sin ,
ππ
и получаем:
.512
2
3
sin
2
3
cos512
6
9sin
6
9cos2
99
ii
iz
=
+
=
=
+
=
ππ
ππ
Число z называется корнем степени n из числа
ω
(обозначение
ω
n
), если z
n
=
ω
. Пусть
zri
=
+
=
+
ρ
ψ
ψ
ω
ϕ
ϕ
(cos sin ), (cos sin ), то-
гда
ρψψ ϕϕ
n
nnr i(cos sin ) (cos sin ).+=+Следовательно,
ρψϕπ ρψ
ϕ
π
n
rn k
k
n
kz==+ =
+
,,,.2
2
или =r
n
Получаем все решения уравнения z
n
=
ω
:
zr
k
n
i
k
n
kn
k
n
=
+
+
+
=−cos sin , ,
ϕπ ϕπ
22
01
Пример: Найти все значения 16
4
.
ω
π
π
=
=
+
16 16(cos sin ),i следовательно
z
k
i
k
k
k
=
+
+
+
=2
2
4
2
4
03cos sin , , .
ππ ππ
Или, подробнее
zi i
0
2
44
22=+
=+cos sin ,
ππ
zi i
1
2
3
4
3
4
22
=+
=− +cos sin ,
ππ
zi i
2
2
5
4
5
4
22=+
=− cos sin ,
ππ
zi i
3
2
7
4
7
4
22
=+
=−cos sin .
ππ
0
x-1
-2
y