Методические указания по линейной алгебре. Гармаев В.Д - 4 стр.

UptoLike

Рубрика: 

Следовательно, число zabi
=
+
можно записать в ви-
де:
zi=
+
(cos sin )
ϕ
ϕ
Данное выражение называется тригонометрической
формой записи комплексного числа, которая удобна при ум-
ножении и делении комплексных чисел. Пусть даны числа
zr i z r i
11 1 1 2 2 2 2
=
+
=
+
(cos sin ) (cos sin )
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
и
Тогда
zz rr i
1212 12 12
=
+
+
+
(cos( ) sin( )),
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
z
z
r
r
i
1
2
1
2
12 12
=+++(cos( ) sin( ))
ϕϕ ϕϕ
Пример.
Записать в тригонометрической форме ком-
плексное число
()
z
ii
i
=
+
cos sin
ππ
33
3
1
.
Число zi
1
33
=−cos sin
π
π
запишем в виде
zir
111
33
1
3
=−
+−
==cos sin , ; ;
ππ
ϕ
π
т.е. число
zi
2
3=+
имеет модуль
r
22
31 2
6
=+= = и аргумент
ϕ
π
,
т.к. cos
ϕ
2
3
2
= и
sin ;
ϕ
2
1
2
=
число zi
3
1
=
имеет модуль
r
33
11 2
3
4
=+= = и аргумент
ϕ
π
, т.к.
cos sin .
ϕϕ
33
1
2
1
2
=− = и
Поэтому
z
zz
z
rr
r
=
=
=
=
12
3
12
3
12
2
2,
аргумент
ϕϕ ϕ ϕ
π
π
π
π
=+=+ =
123
36
3
4
11
12
.
Следовательно zi=−
+−
2
11
12
11
12
cos sin .
ππ
Числа
z a bi z a bi
=
+
=
и
, отличающиеся только
знаком при мнимой части, называются сопряженными. Мож-
но заметить, что
zz a zzza b r+= = = + = 22 0
222
Re , .
Остановимся на геометрическом смысле модуля раз-
ности двух комплексных чисел. Разность двух чисел есть
число, которому соответствует вектор, являющийся разно-
стью векторов, соответствующих этим векторам. Пусть
zabz ab
1112 22
=
+
=
+
,
Длина вектора z
1
-z
2
равна расстоянию между точками
М
1
и М
2
. Таким образом, модуль разности двух комплексных
чисел есть расстояние между точками, соответствующими
этим числам.