Методические указания по линейной алгебре. Гармаев В.Д - 4 стр.

        Следовательно, число z = a + bi можно записать в ви-                                 1             1
                                                                                 cosϕ3 = −      и sin ϕ3 =    .
де: z = (cosϕ + i sin ϕ )                                                                     2             2

        Данное выражение называется тригонометрической                                             z1 ⋅ z2      r ⋅r  1⋅ 2
                                                                                 Поэтому      z=              = 1 2 =      = 2, аргумент
формой записи комплексного числа, которая удобна при ум-                                             z3           r3    2

ножении и делении комплексных чисел. Пусть даны числа                                                   π         π       3π    11π
                                                                                 ϕ = ϕ1 + ϕ2 − ϕ3 = −         +       −      =−     .
        z1 = r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 ) и z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )                                        3       6        4     12

        Тогда                                                                                        ⎛ ⎛ 11π ⎞         ⎛ 11π ⎞ ⎞
                                                                                 Следовательно z = 2 ⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ −   ⎟⎟.
                                                                                                     ⎝ ⎝ 12 ⎠          ⎝ 12 ⎠ ⎠
z1z2 = r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )),
                                                                                         Числа z = a + bi и z = a − bi , отличающиеся только
z1 r1
  = (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))                                            знаком при мнимой части, называются сопряженными. Мож-
z2 r2
        Пример. Записать в тригонометрической форме ком-                         но заметить, что z + z = 2a = 2 Re z , z ⋅ z = a 2 + b 2 = r 2 ≥ 0.

                   ⎛    π       π⎞                                                       Остановимся на геометрическом смысле модуля раз-
                   ⎜ cos − i sin ⎟
                   ⎝    3        3⎠
                                                 (   3 +i   )                    ности двух комплексных чисел. Разность двух чисел есть
плексное число z =                                              .
                             i −1                                                число, которому соответствует вектор, являющийся разно-
                               π             π                                   стью векторов, соответствующих этим векторам. Пусть
        Число       z1 = cos       − i sin              запишем     в   виде
                               3             3
                                                                                 z1 = a1 + b1 , z2 = a2 + b2
        ⎛ π⎞         ⎛ π⎞                       π
z1 = cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ , т.е. r1 = 1; ϕ1 = − ; число                                 Длина вектора z1-z2 равна расстоянию между точками
        ⎝ 3⎠         ⎝ 3⎠                       3
                                                                                 М1 и М2. Таким образом, модуль разности двух комплексных
                                                                         π
z2 = 3 + i имеет модуль r2 = 3 + 1 = 2 и аргумент ϕ2 =                       ,   чисел есть расстояние между точками, соответствующими
                                                                         6
                                                                                 этим числам.
              3           1
т.к. cosϕ2 =    и sin ϕ2 = ; число z3 = i − 1 имеет модуль
             2            2
                                             3π
r3 = 1 + 1 = 2 и аргумент ϕ3 =                  , т.к.
                                              4