ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Примеры:
1) (2 + 5i) + (-1 + 7i) = 1 + 12i;
2) (2 + 5i) - (-1 + 7i) = 3 - 2i
3) (2 + 5i) + (-1 + 7i) = -37 + 9i
4)
25
17
33
50
19
50
+
−+
=−
i
i
i
Подобно тому как действительные числа можно изо-
бражать точками числовой прямой, комплексные числа мож-
но изображать точками плоскости. Возможность такого изо-
бражения основана на отождествлении множества комплекс-
ных чисел a + bi и множества пар действительных чисел (a,
b), которые в прямоугольной системе координат ХОY можно
трактовать как координаты точек
плоскости. Координатная
плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс
называется действительной, ось ординат называется мнимой
осью.
Не менее удобной является интерпретация комплекс-
ного числа а+вi как вектора
ОМ , выходящего из начала ко-
ординат О(0;0) и идущего в точку М(а;в). Соответствие меж-
ду множеством комплексных чисел с одной стороны и мно-
жествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет
комплексные числа называть точками или векторами. При
этом операции сложения и вычитания чисел выполняются
соответственно операциям сложения и
вычитания векторов.
Пусть комплексное число z= а+вi изображается векто-
ром
ОМ
=(а;в). Модулем комплексного числа называется
длина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля
числа z используется обозначение
z . Также модуль обозна-
чается буквой r.
По теореме Пифагора следует формула:
rab=+
22
Аргументом комплексного числа z называется угол,
образуемый вектором
ОМ с положительным направлением
действительной оси, причем угол считается положительным,
если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицатель-
ным, если отсчет производится по часовой стрелке. Для обо-
значения аргумента числа z используется символ arqz. Если
известны модуль и аргумент, то комплексное число опреде-
ляется однозначно.
Из рисунка видно, что
sin , cos
ϕϕ
==
b
r
a
r
Mb
a x
y
ϕ
r
Примеры: Пусть комплексное число z= а+вi изображается векто-
1) (2 + 5i) + (-1 + 7i) = 1 + 12i; ром ОМ =(а;в). Модулем комплексного числа называется
2) (2 + 5i) - (-1 + 7i) = 3 - 2i длина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля
3) (2 + 5i) + (-1 + 7i) = -37 + 9i числа z используется обозначение z . Также модуль обозна-
2 + 5i 33 19 чается буквой r.
4) = − i
− 1 + 7i 50 50
Подобно тому как действительные числа можно изо- y
бражать точками числовой прямой, комплексные числа мож-
но изображать точками плоскости. Возможность такого изо- b M
бражения основана на отождествлении множества комплекс- r ϕ
ных чисел a + bi и множества пар действительных чисел (a, a x
b), которые в прямоугольной системе координат ХОY можно
трактовать как координаты точек плоскости. Координатная
По теореме Пифагора следует формула:
плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс
называется действительной, ось ординат называется мнимой r = a 2 + b2
осью. Аргументом комплексного числа z называется угол,
Не менее удобной является интерпретация комплекс- образуемый вектором ОМ с положительным направлением
ного числа а+вi как вектора ОМ , выходящего из начала ко- действительной оси, причем угол считается положительным,
ординат О(0;0) и идущего в точку М(а;в). Соответствие меж- если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицатель-
ду множеством комплексных чисел с одной стороны и мно- ным, если отсчет производится по часовой стрелке. Для обо-
жествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет значения аргумента числа z используется символ arqz. Если
комплексные числа называть точками или векторами. При известны модуль и аргумент, то комплексное число опреде-
этом операции сложения и вычитания чисел выполняются ляется однозначно.
соответственно операциям сложения и вычитания векторов. b a
Из рисунка видно, что sin ϕ = , cos ϕ =
r r
