ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Комплексные числа
Во многих разделах математики и ее приложений не-
возможно ограничиться рассмотрением действительных чи-
сел. Потребности этих разделов приводят к необходимости
ввести в рассмотрение множество комплексных чисел, мно-
жество более "обширное" по сравнению с множеством дейст-
вительных чисел.
При изучении математики идея о расширении множе-
ства рассматриваемых чисел возникла неоднократно. Пред-
ставление о числе изменялось по мере расширения круга ре-
шаемых задач. Для подсчета отдельных предметов достаточ-
но натуральных чисел, но при решении уравнений первой
степени с натуральными числами, этих чисел уже недоста-
точно - нужны рациональные числа. В свою очередь, пред-
ставление о числе как только о рациональном оказывается
неудовлетворительным, например, при измерении длин от-
резков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину
необходимо добавить иррациональные числа. Система, со-
стоящая из всех рациональных и всех иррациональных чисел
называется системой действительных (вещественных) чисел.
Теория алгебраических уравнений является одним из разде-
лов математики, в котором комплексные числа играют важ-
ную роль. Здесь особенно наглядно проявилась целесообраз-
ность дальнейшего расширения системы действительных чи-
сел. Ведь даже простейшее квадратное уравнение х
2
+ 1 = 0
не имеет в этой системе корней. В то время как среди ком-
плексных чисел содержатся не только корни любого квад-
ратного уравнения, но и все корни любого алгебраического
уравнения с действительными или комплексными коэффици-
ентами.
Для того, чтобы квадратное уравнение х
2
+ 1 = 0 име-
ло решение, нужно ввести новое число, которое будет счи-
таться его решением. Обозначается это число символом i.
Таким образом, i
2
+ 1 = 0 или i
2
= -1. Дополним множество
действительных чисел числами вида bi, которые называются
мнимыми и являются произведениями действительных чисел
b на число i. И наконец, сумму действительного числа а и
мнимого числа bi назовем комплексным числом а + bi. При
этом числа а и b называются соответственно действительной
и мнимой частями числа z = a + bi: a = Re z, b = Im z. Число i
называется мнимой единицей: i =
− 1
.
Два числа z
1
= a
1
+ b
1
i и z
2
= a
2
+ b
2
i считаются рав-
ными, если a
1
= b
1
и a
2
= b
2
. Действия над числами выпол-
няются по следующим правилам:
(a
1
+ b
1
i) ± (a
2
+ b
2
i) = (a
1
± a
2
) + (b
1
± b
2
)i;
(a
1
+ b
1
i) (a
2
+ b
2
i) = (a
1
a
2
- b
1
b
2
) + (а
1
b
2
- b
1
а
2
)i;
abi
abi
aa bb
ab
ba ab
ab
i
11
22
12 12
2
2
2
2
12 12
2
2
2
2
+
+
=
+
+
+
−
+
.
Комплексные числа сел. Ведь даже простейшее квадратное уравнение х2 + 1 = 0
Во многих разделах математики и ее приложений не- не имеет в этой системе корней. В то время как среди ком-
возможно ограничиться рассмотрением действительных чи- плексных чисел содержатся не только корни любого квад-
сел. Потребности этих разделов приводят к необходимости ратного уравнения, но и все корни любого алгебраического
ввести в рассмотрение множество комплексных чисел, мно- уравнения с действительными или комплексными коэффици-
жество более "обширное" по сравнению с множеством дейст- ентами.
вительных чисел. Для того, чтобы квадратное уравнение х2 + 1 = 0 име-
При изучении математики идея о расширении множе- ло решение, нужно ввести новое число, которое будет счи-
ства рассматриваемых чисел возникла неоднократно. Пред- таться его решением. Обозначается это число символом i.
ставление о числе изменялось по мере расширения круга ре- Таким образом, i2 + 1 = 0 или i2 = -1. Дополним множество
шаемых задач. Для подсчета отдельных предметов достаточ- действительных чисел числами вида bi, которые называются
но натуральных чисел, но при решении уравнений первой мнимыми и являются произведениями действительных чисел
степени с натуральными числами, этих чисел уже недоста- b на число i. И наконец, сумму действительного числа а и
точно - нужны рациональные числа. В свою очередь, пред- мнимого числа bi назовем комплексным числом а + bi. При
ставление о числе как только о рациональном оказывается этом числа а и b называются соответственно действительной
неудовлетворительным, например, при измерении длин от- и мнимой частями числа z = a + bi: a = Re z, b = Im z. Число i
резков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину называется мнимой единицей: i = −1.
необходимо добавить иррациональные числа. Система, со- Два числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i считаются рав-
стоящая из всех рациональных и всех иррациональных чисел ными, если a1 = b1 и a2 = b2. Действия над числами выпол-
называется системой действительных (вещественных) чисел. няются по следующим правилам:
Теория алгебраических уравнений является одним из разде- (a1 + b1i) ± (a2 + b2i) = (a1 ± a2) + (b1 ± b2)i;
лов математики, в котором комплексные числа играют важ- (a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1 a2 - b1 b2) + (а1b2 - b1а2)i;
ную роль. Здесь особенно наглядно проявилась целесообраз- a1 + b1i a1a2 + b1b2 b1a2 − a1b2
= + i.
ность дальнейшего расширения системы действительных чи- a2 + b2i a2 2 + b22 a2 2 + b22
