Методические указания по линейной алгебре. Гармаев В.Д - 7 стр.

                             Многочлены и их корни                          ществуют многочлены q(x) и r(x) такие, что f(x) = q(x ) q(x) +
        Многочленом (полиномом) n-й степени от неизвест-                    r(x), причем степень r(x) меньше степени q(x) или r(x)=0.
ного х называется выражение                                                         Многочлен q(x) называется частным от деления, а r(x)

        a0 x n + a1x n −1 +...+ an −1x + an, где n - целое число, на-       - остатком от этого деления. Если остаток от деления равен
                                                                            нулю, то многочлен q(x) называется делителем многочлена
зываемое степенью многочлена. Коэффициенты
                                                                            f(x).
a0 , a1 ,..., an −1 , an являются действительными или комплекс-
                                                                                    Пусть даны произвольные многочлены f(x) и q(x ).
ными числами, неизвестное х может также принимать дейст-
                                                                            Многочлен ϕ(х) называется их общим делителем, если он
вительные или комплексные значения.
                                                                            служит делителем для каждого из этих многочленов. Наи-
        Пусть даны многочлены
                                                                            большим общим делителем (НОД) называется такой их об-
         f ( x ) = a0 + a1x +...+ an −1x n −1 + an x n , an ≠ 0
                                                                            щий делитель, который сам делится на любой другой общий
                                         m −1          m
        q ( x ) = b0 + b1x +...+bm −1x          + bm x , bm ≠ 0             делитель. Обозначается НОД многочленов f(x) и q(x ) симво-
        Их суммой является многочлен, коэффициенты кото-                    лом (f(x),q(x )). Для нахождения НОД используется алго-
рого равны сумме коэффициентов при соответствующих сте-                     ритм последовательного деления или алгоритм Евклида.
пенях многочленов f(x) и q(x), причем степень суммы не пре-                 Продемонстрируем его на примере. Пусть
восходит наибольшей из степеней f(x) и q(x).                                f ( x ) = x 4 + 3x 3 − x 2 − 4 x − 3 и q ( x ) = 3x 3 + 10 x 2 + 2 x − 3. Де-
        Произведением многочленов f(x) и q(x ) называется
                                                                            лим f(x) на q(x ). Чтобы избежать дробных коэффициентов,
                                                 n+m
многочлен d ( x ) = d 0 + d1x +...+ d n + m x          , коэффициенты ко-   умножим f(x) на 3.
торого определяются следующим образом                                       f ( x ) = 3x 4 + 9 x 3 − 3x 2 − 12 x − 9        3x3 + 10 x 2 + 2 x − 3
        di =     ∑ ak bl ,   i = 0, m + n
                                                                            3x 4 + 10 x 3 + 2 x 2 − 3x                       x +1
               k + l =i

        В множестве многочленов существует операция деле-                   − x 3 − 5x 2 − 9 x − 9 (умножим на -3)
ния с остатком: для любых двух многочленов f(x) и q(x ) су-
                                                                                    получим