Методические указания по линейной алгебре. Гармаев В.Д - 7 стр.

UptoLike

Рубрика: 

Многочлены и их корни
Многочленом (полиномом) n-й степени от неизвест-
ного х называется выражение
ax ax a x a
nn
nn01
1
1
++++
...
,
где n - целое число, на-
зываемое степенью многочлена. Коэффициенты
aa a a
nn01 1
, ,..., ,
являются действительными или комплекс-
ными числами, неизвестное х может также принимать дейст-
вительные или комплексные значения.
Пусть даны многочлены
fx a ax a x ax a
n
n
n
n
n
( ) ... ,=+ ++ +
01 1
1
0
qx b bx b x b x b
m
m
m
m
m
() ... ,=+ ++ +
01 1
1
0
Их суммой является многочлен, коэффициенты кото-
рого равны сумме коэффициентов при соответствующих сте-
пенях многочленов f(x) и q(x), причем степень суммы не пре-
восходит наибольшей из степеней f(x) и q(x).
Произведением многочленов f(x) и q(x ) называется
многочлен
dx d dx d x
nm
nm
() ... ,=+ ++
+
+
01
коэффициенты ко-
торого определяются следующим образом
dabimn
ikl
k
li
==+
+=
,, 0
В множестве многочленов существует операция деле-
ния с остатком: для любых двух многочленов f(x) и q(x ) су-
ществуют многочлены q(x) и r(x) такие, что f(x) = q(x ) q(x) +
r(x), причем степень r(x) меньше степени q(x) или r(x)=0.
Многочлен q(x) называется частным от деления, а r(x)
- остатком от этого деления. Если остаток от деления равен
нулю, то многочлен q(x) называется делителем многочлена
f(x).
Пусть даны произвольные
многочлены f(x) и q(x ).
Многочлен ϕ(х) называется их общим делителем, если он
служит делителем для каждого из этих многочленов. Наи-
большим общим делителем (НОД) называется такой их об-
щий делитель, который сам делится на любой другой общий
делитель. Обозначается НОД многочленов f(x) и q(x ) симво-
лом (f(x),q(x )). Для нахождения НОД используется алго-
ритм последовательного
деления или алгоритм Евклида.
Продемонстрируем его на примере. Пусть
fx x x x x qx x x x() () .=+ = + +
432 3 2
343 31023 и Де-
лим f(x) на q(x ). Чтобы избежать дробных коэффициентов,
умножим f(x) на 3.
32103
23
++ xxx
fx x x x x()=+393129
432
3102 3
432
x
x
x
x
+
+
1
+
x
x
x
x
32
599 (умножим на -3)
получим