ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
т.о. длину ребра А
1
А
2
находим как модуль вектора
aAA =
21
()()()
222
12
33 41 03 3699
54 7,35
AA =−− +− − = ++=
=≈
uuuur
Ответ: Длина ребра А
1
А
2
равна 7,35 мин.ед.
2. Угол между ребрами А
1
А
2
и А
1
А
4
обозначим
через ϕ и вычислим cosϕ по формуле:
(
)
)2( ,
,
cos
222222
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
ba
++++
++
==
ϕ
Координаты векторов
b
и a находим по формуле
(1):
)5,1,1(b (-6,3,-3), −−a . Полученные координаты
подставим в формулу (2):
Z
А
3
А
2
А
1
Y
x A
4
6
6( 1) 3 1 3( 5)
cos
36 9 9 1 1 25
24 24
0,6304
54 27 27 2
ϕ
−
−+⋅−−
=
=
++ ++
==≈
Ответ: Угол между ребрами А
1
А
2
и А
1
А
4
равен
arccos(0,6304)
3. Площадь грани А
1
А
2
А
3
равна половине площади
параллелограмма, построенного на векторах
12
A
A и А
1
А
3
:
[
]
[
]
.,
2
1
,
2
1
3221
caAAAAS == Координаты вектора
a известны, найдем координаты вектора ).,,(
zyx
cccc
Т.о. ).1,2,0()34,13,33( =−−−=c
Найдем векторное произведение векторов a и c
[]
[]
22 2
,6339612
02 1
11 1
, 9 6 12 8136144
22 2
1
261
2
xyz
xyy
ijkijk
ac a a a i j k
ccc
Sac
==−=+−
==++=++=
=
rr
rr rr
r
rr
rr
rr
Ответ: Площадь грани А
1
А
2
А
3
равна 8.1 кв.ед.
4. Зная, что смешанное произведение векторов
[]
(
)
bcabca
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
=,,
есть число, абсолютная величина
которого выражает объем параллелепипеда, построенного
т.о. длину ребра А1А2 находим как модуль вектора −6(−1) + 3 ⋅ 1 − 3(−5) cos ϕ = = A1 A2 = a 36 + 9 + 9 1 + 1 + 25 uuuur A1 A2 = ( −3 − 3) + ( 4 − 1) ( 0 − 3) = 36 + 9 + 9 = 24 24 2 2 2 = = ≈ 0,6304 54 27 27 2 = 54 ≈ 7,35 Ответ: Угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен Ответ: Длина ребра А1А2 равна 7,35 мин.ед. arccos(0,6304) 3. Площадь грани А1А2А3 равна половине площади Z параллелограмма, построенного на векторах A1 A2 и А1А3: А3 А2 А1 S= 1 2 [ 1 ] [ ] A1 A2 , A2 A3 = a, c . 2 Координаты вектора Y a известны, найдем координаты вектора c(c x , c y , c z ). Т.о. c = (3 − 3,3 − 1,4 − 3) = (0,2,1). x A4 Найдем векторное произведение векторов a и c r r r r r r i j k i j k 2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 обозначим r r r r r через ϕ и вычислим cosϕ по формуле: [ a , c ] = ax ay az = 6 3 −3 = 9i + 6 j − 12k cx cy cy 0 2 1 cosϕ = (a, b ) = a x bx + a y b y + a z bz , (2) 1 r r 1 1 ab a x2 + a 2y + a z2 bx2 + b y2 + bz2 S= [ a, c ] = 92 + 62 + 122 = 81 + 36 + 144 = 2 2 2 1 = 261 Координаты векторов a и b находим по формуле 2 (1): Ответ: Площадь грани А1А2А3 равна 8.1 кв.ед. a (-6,3,-3), b(−1,1,−5) . Полученные координаты 4. Зная, что смешанное произведение векторов подставим в формулу (2): ρ ρ ρ ρρρ ( ) [a, c ], b = ac b есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного 5 6