Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 4 стр.

                    ρρρ                                                    6. Уравнение грани А1А2А3 найдем как уравнение
на векторах a , c , b , а пирамида А1А2А3А4 составляет 1/6
                                                                     плоскости, проходящей через три точки по формуле:
часть       этого            параллелепипеда,      можем
                                                                             x − x1   y − y1   z − z1
                     1 rr r
написать VA1 A2 A3 A4 = acb .                                               x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 = 0 (5)
                     6
       Но смешанное произведение трех                   векторов            x3 − x1 y3 − y1 z 3 − z1
ρ            ρ          ρ                                            Подставив координаты точек А1, А2 и А3 в формулу (5),
a (−6,3,−3), c (0,2,1), b (−1,1,−5) , заданных  своими
                                                                     получим уравнение грани А1А2А3 :
координатами, равно определителю третьего порядка,
составленному из этих координат. Таким образом,
                                                                      x + 3 y −1 z − 3
                   ax   ay   az   −6 3 −3
    r r r                                                            −3 − 3 4 − 1 0 − 3 = 0,перепишем и раскроем
(              )
    a , c , b = bx      by   bz = 0 2    1 = −6(9) − 1(9) =
                                                                     3 − 3 3 −1 4 − 3
                cx      cy   cz −1 1     5
= −54 − 9 = −63                                                      определитель:
                                                                     x+3      y −1 z − 3
                1      63
VA1 A2 A3 A4   = −63 =    = 10,5                                         −6    3      −3 = ( x + 3)9 − ( y − 1)(−6) + ( z − 3)(−12) =
                6      6
Ответ: Объем пирамиды равен 10,5 куб.ед.                                 0     2       1

          5. Уравнение прямой, проходящей через точки
                                                                     = 9 x + 27 + 6 y − 6 − 12 z + 36 = 9 x + 6 y − 12 z + 57 = 0
A1 ( x1 , y1 , z1 ) и          A2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) имеет   вид:
                                                                     Сокращаем на 3:     3х+2у-4z+19=0.
 x − x1         y − y1    z − z1
            =           =        .       ( 4)                        Ответ: Уравнение плоскости А1А2А3: ↔ 3х+2у-4z+19=0.
x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1                                                  7. Найдем уравнение высоты, опущенной из
Подставляем координаты точек А1(3,1,3) и А2(-3,4,0) в                вершины А4. Для этого примем за направляющий вектор
формулу (4):                                                         прямой,     проходящей      через     точку    А4(2,2,-2)
 x−3          y −1 z − 3 x − 3 y −1 z − 3                            перпендикулярно     плоскости     треугольника   А1А2А3
           =          =   ,          =          =        .
− 3 − 3 4 −1 0 − 3 − 6                     3         −3              нормальный вектор этой плоскости. Вспомним, что если
             x − 3 y −1 z − 3                                        плоскость задана уравнениями вида ax+by+cz+d=0, то
Ответ:               =    =        . - уравнение прямой А1А2.        коэффициенты а,в,с можно рассматривать как координаты
              −6        3    −3
                                                                     нормального     вектора    плоскости,     т.е.  вектора,
                                                                     перпендикулярного к плоскости.

                                                                7    8