ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
на векторах bca
ρ
ρ
ρ
,, , а пирамида А
1
А
2
А
3
А
4
составляет 1/6
часть этого параллелепипеда, можем
написать
1234
1
6
AA AA
Vacb=
r
rr
.
Но смешанное произведение трех векторов
)5,1,1(),1,2,0(),3,3,6( −−−− bca
ρ
ρ
ρ
, заданных своими
координатами, равно определителю третьего порядка,
составленному из этих координат. Таким образом,
()
63 3
, , 0 2 1 6(9) 1(9)
11 5
54 9 63
xyz
xyz
xyz
aaa
acb b b b
ccc
−−
===−−=
−
=− − =−
r
rr
1234
163
63 10,5
66
AA AA
V =− = =
Ответ: Объем пирамиды равен 10,5 куб.ед.
5. Уравнение прямой, проходящей через точки
),,(
1111
zyxA и ),,(
2222
zyxA имеет вид:
)4( .
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
Подставляем координаты точек А
1
(3,1,3) и А
2
(-3,4,0) в
формулу (4):
.
3
3
3
1
6
3
,
30
3
14
1
33
3
−
−
=
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−−
− zyxzyx
Ответ:
.
3
3
3
1
6
3
−
−
=
−
=
−
− zyx
- уравнение прямой А
1
А
2
.
8
6. Уравнение грани А
1
А
2
А
3
найдем как уравнение
плоскости, проходящей через три точки по формуле:
)5( 0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
Подставив координаты точек А
1
, А
2
и А
3
в формулу (5),
получим уравнение грани А
1
А
2
А
3
:
313
334103 0,перепишем и раскроем
33 3143
xyz+−−
−− − − =
−−−
определитель:
313
6 3 3 ( 3)9 ( 1)(6) ( 3)(12)
021
9276612369612570
xyz
xy z
xyzxyz
+−−
−−=+−−−+−−=
=++−− +=+− +=
Сокращаем на 3: 3х+2у-4z+19=0.
Ответ: Уравнение плоскости А
1
А
2
А
3
:
↔
3х+2у-4z+19=0.
7.
Найдем уравнение высоты, опущенной из
вершины А
4
. Для этого примем за направляющий вектор
прямой, проходящей через точку А
4
(2,2,-2)
перпендикулярно плоскости треугольника А
1
А
2
А
3
нормальный вектор этой плоскости. Вспомним, что если
плоскость задана уравнениями вида ax+by+cz+d=0, то
коэффициенты а,в,с можно рассматривать как координаты
нормального вектора плоскости, т.е. вектора,
перпендикулярного к плоскости.
ρρρ 6. Уравнение грани А1А2А3 найдем как уравнение на векторах a , c , b , а пирамида А1А2А3А4 составляет 1/6 плоскости, проходящей через три точки по формуле: часть этого параллелепипеда, можем x − x1 y − y1 z − z1 1 rr r написать VA1 A2 A3 A4 = acb . x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 = 0 (5) 6 Но смешанное произведение трех векторов x3 − x1 y3 − y1 z 3 − z1 ρ ρ ρ Подставив координаты точек А1, А2 и А3 в формулу (5), a (−6,3,−3), c (0,2,1), b (−1,1,−5) , заданных своими получим уравнение грани А1А2А3 : координатами, равно определителю третьего порядка, составленному из этих координат. Таким образом, x + 3 y −1 z − 3 ax ay az −6 3 −3 r r r −3 − 3 4 − 1 0 − 3 = 0,перепишем и раскроем ( ) a , c , b = bx by bz = 0 2 1 = −6(9) − 1(9) = 3 − 3 3 −1 4 − 3 cx cy cz −1 1 5 = −54 − 9 = −63 определитель: x+3 y −1 z − 3 1 63 VA1 A2 A3 A4 = −63 = = 10,5 −6 3 −3 = ( x + 3)9 − ( y − 1)(−6) + ( z − 3)(−12) = 6 6 Ответ: Объем пирамиды равен 10,5 куб.ед. 0 2 1 5. Уравнение прямой, проходящей через точки = 9 x + 27 + 6 y − 6 − 12 z + 36 = 9 x + 6 y − 12 z + 57 = 0 A1 ( x1 , y1 , z1 ) и A2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) имеет вид: Сокращаем на 3: 3х+2у-4z+19=0. x − x1 y − y1 z − z1 = = . ( 4) Ответ: Уравнение плоскости А1А2А3: ↔ 3х+2у-4z+19=0. x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 7. Найдем уравнение высоты, опущенной из Подставляем координаты точек А1(3,1,3) и А2(-3,4,0) в вершины А4. Для этого примем за направляющий вектор формулу (4): прямой, проходящей через точку А4(2,2,-2) x−3 y −1 z − 3 x − 3 y −1 z − 3 перпендикулярно плоскости треугольника А1А2А3 = = , = = . − 3 − 3 4 −1 0 − 3 − 6 3 −3 нормальный вектор этой плоскости. Вспомним, что если x − 3 y −1 z − 3 плоскость задана уравнениями вида ax+by+cz+d=0, то Ответ: = = . - уравнение прямой А1А2. коэффициенты а,в,с можно рассматривать как координаты −6 3 −3 нормального вектора плоскости, т.е. вектора, перпендикулярного к плоскости. 7 8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »