ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 122 стр.

но малыми. Линеаризованные характеристики нелинейного процесса при малых
возмущениях получаются следующим образом.
    Рассмотрим нелинейный процесс

                        x& = f (x, u ),                           (п.1.1)

где ƒ – (n,1) – мерная вектор-функция x, u, а x, u – (n,1) – мерный вектор состояния
и (m,1) – мерный вектор управления соответственно. Если предположить, что век-
торам x, u даны малые приращения, то получим

                 x& + δx& = f (x + δx, u + δu ).                  (п.1.2)

Вычитая уравнение (п.1.1) из (п.1.2), имеем

                δx& = f (x + δx, u + δu ) − f (x, u ) =
                   ⎡ ∂f T ⎤           ⎡ ∂f T ⎤
                =⎢        ⎥     δx + ⎢        ⎥       δu,          (п.1.3)
                   ⎣ ∂ x ⎦ x ,u
                            0   0
                                      ⎣ ∂ u ⎦ x ,u 0    0




где […] x0 ,u 0 обозначает […] в окрестности x0,u0 , а Т - знак транспонирования.

     Определим
                         ⎡ ∂f1 ∂f 2                ∂f n ⎤
                         ⎢ ∂x ∂x L                 ∂x1 ⎥
                         ⎢ 1        1
                                                        ⎥
                            ∂ f
                    ∂f ⎢ 1 L                        M ⎥
               AT =    = ⎢ ∂x                           ⎥          (п.1.4)
                    ∂x ⎢ 2
                              M                     M ⎥
                         ⎢                              ⎥
                            ∂
                         ⎢ f1 L                    ∂f n ⎥
                         ⎣⎢ ∂xn                    ∂xn ⎦⎥
как (n,n)-мерную матрицу и
                             ⎡ ∂ f1                    ∂f n   ⎤
                             ⎢ ∂x     L                       ⎥
                                                       ∂ x1
                    ∂f       ⎢    1
                                                              ⎥
              BT =      = ⎢ M                            M    ⎥   ( п.1.5)
                    ∂x                                 ∂f n
                             ⎢ ∂ f1                           ⎥
                             ⎢ ∂x                      ∂xm    ⎥
                             ⎣ m                              ⎦
как (n,m)-мерную матрицу.
    Тогда из уравнения (п.1.3) следует линеаризованное уравнение при малых воз-
мущениях:
                         δx& = Aδx + Bδu .                  (п.1.6)
    Пример. Рассмотрим нелинейный процесс
                             x&1 = 2 x1 + 3x1u ,
                          x& 2 = x1 x 2 + u 3 .
    При малых возмущениях этот процесс можно описать следующим образом,
используя обычные правила нахождения скалярной частной производной:




                                                                                    122