ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

119
ляции между v
0
(t) и
ϕ
(t). Попробуем тогда применить общий корреляционный век-
тор
ξ
(t) к линейной регрессии. Будем называть такое применение методом инст-
рументальных переменных. Компоненты вектора
ξ
называют при этом инструмен-
тальными переменными. Отсюда
$
() () () ()
θξϕ ξ
N
IV T
t
N
t
N
N
tt
N
tyt=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⋅
=
−
=
∑∑
11
1
1
1
(5.200)
при условии, что указанные обратные матрицы существуют. Для успешного при-
менения (5.200) к системе (5.199) нужно потребовать выполнения следующих
свойств инструментальной переменной
ξ
:
Et t
T
[() ()]
ξϕ
- невырожденная матрица, (5.201)
Etvt[() ()]
ξ
0
0
=
, (5.202)
где E[x] - математическое ожидание случайного вектора x. Другими словами, ин-
струментальные переменные должны коррелировать с регрессионными перемен-
ными, но не должны коррелировать с шумом v
0
(t).
5.19.2.Выбор инструментальных переменных
Предположим, что линейная регрессионная модель является ARX-
моделью:
yt ayt a yt n but b ut n vt
na nb
ab
() ( ) ( ) ( ) ( ) ()+−++ −
=
−
+
+
−
+
11
11KK. (5.203)
Допустим также, что истинное описание (5.199) соответствует (5.203) с «нулевы-
ми» индексами у коэффициентов. Естественная идея состоит в генерации инстру-
ментальных переменных аналогично (5.203) так, чтобы обеспечить (5.201), но в
тоже время не позволить им быть зависимыми с {v
0
(t)}. Это приводит к
[]
ξ
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t Kq xt xt xt n ut ut n
ab
T
=−−−−−− − −12 1KK
, (5.204)
где K - линейный фильтр, а x(t) порождается входной последовательностью, про-
пущенной через линейную систему:
N(q)x(t) = M(q)u(t) . (5.205)
Здесь
Nq nq n q
Mq m mq m q
n
n
n
n
n
n
m
m
() ,
() .
=+ ++
=+ ++
−−
−−
1
1
1
01
1
K
K
(5.206)
Большинство используемых на практике инструментальных переменных форми-
руются таким способом.
5.19.3.Рекуррентный метод инструментальных переменных
Оценка для фиксированных (не зависящих от модели) инструментальных
переменных определяется выражением (5.200). Вводя веса аналогично (5.181)-
(5.183), получим
$
() ()
θ
t
IV
R tft=
−1
, (5.207)
где 
ляции между v0(t) и ϕ(t). Попробуем тогда применить общий корреляционный век-
тор ξ(t) к линейной регрессии. Будем называть такое применение методом инст-
рументальных переменных. Компоненты вектора ξ называют при этом инструмен-
тальными переменными. Отсюда
                                                        −1
                               ⎡1 N              ⎤   1 N
                       θ N = ⎢ ∑ ξ (t )ϕ (t ) ⎥ ⋅ ∑ ξ (t ) y (t )
                        $ IV                   T
                                                                    (5.200)
                               ⎣ N t =1          ⎦   N t =1
при условии, что указанные обратные матрицы существуют. Для успешного при-
менения (5.200) к системе (5.199) нужно потребовать выполнения следующих
свойств инструментальной переменной ξ:
                       E[ξ (t )ϕ T (t )] - невырожденная матрица,   (5.201)
                       E[ξ (t )v 0 (t )] = 0 ,                      (5.202)
где E[x] - математическое ожидание случайного вектора x. Другими словами, ин-
струментальные переменные должны коррелировать с регрессионными перемен-
ными, но не должны коррелировать с шумом v0(t).


                    5.19.2.Выбор инструментальных переменных

         Предположим, что линейная регрессионная модель является ARX-
моделью:
   y (t ) + a1 y (t − 1) +K+ a na y (t − na ) = b1u(t − 1) +K+bnb u(t − nb ) + v (t ) . (5.203)
Допустим также, что истинное описание (5.199) соответствует (5.203) с «нулевы-
ми» индексами у коэффициентов. Естественная идея состоит в генерации инстру-
ментальных переменных аналогично (5.203) так, чтобы обеспечить (5.201), но в
тоже время не позволить им быть зависимыми с {v0(t)}. Это приводит к
           ξ (t ) = K (q )[ − x (t − 1) − x (t − 2)K− x (t − na )u(t − 1)K u(t − nb )] , (5.204)
                                                                                   T


где K - линейный фильтр, а x(t) порождается входной последовательностью, про-
пущенной через линейную систему:
                              N(q)x(t) = M(q)u(t) .                 (5.205)
Здесь
                      N (q ) = 1 + n1q −1 +K+ nnn q − nn ,
                                                                    (5.206)
                      M (q ) = m0 + m1q −1 +K+ mnm q − nm .
Большинство используемых на практике инструментальных переменных форми-
руются таким способом.

           5.19.3.Рекуррентный метод инструментальных переменных

       Оценка для фиксированных (не зависящих от модели) инструментальных
переменных определяется выражением (5.200). Вводя веса аналогично (5.181)-
(5.183), получим
                            θ$t IV = R −1 (t ) f (t ) ,          (5.207)
где




                                                                                               119

Страницы