ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

118
Rt t
t
Pt t
t
Pt t t Pt t
ttPtt
Pt t
ttPtt
T
T
T
−
=−−⋅
−−
+−
=
=
−
+−
1
1
1
11 1
1
1
1
() ()
()
()()
()
( ) () () ( ) ()
() () ( ) ()
()()
() () ( ) ()
.
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕϕ ϕ
λϕ ϕ
ϕ
λϕ ϕ
Таким образом, приходим к следующему варианту алгоритма:
$
()
$
()()[() ()
$
()]
θθ ϕθ
tt Ltyt tt
T
=−+ − −1 1 , (5.192)
Lt
Pt t
ttPtt
T
()
()()
() () ( ) ()
=
−
+−
1
1
ϕ
λϕ ϕ
, (5.193)
Pt
Pt
Pt t t Pt
ttPtt
t
T
T
()
()
( ) () () ( )
() () ( ) ()
()
=
−−
−−
+−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
11
1
ϕϕ
λϕ ϕ
λ
. (5.194)
Здесь мы перешли к обозначению
$
()
θ
t
вместо
$
θ
t
, чтобы подчеркнуть определен-
ное их различие из-за влияния начальных условий.
Рассмотрим теперь многомерный случай взвешенных наименьших квадра-
тов
$
argmin (,)[() ()] [() ()]
θ β ϕθ ϕθ
θ
t
TT
k
T
k
t
tk yk k yk k=−∧−
−
=
∑
1
2
1
1
, (5.195)
где
β
(t, k) удовлетворяет (5.184). Проводя вычисления, полностью аналогичные
сделанным ранее, получаем многомерный вариант соотношений (5.192)-(5.194)
$
()
$
()()[() ()
$
()]
θθ ϕθ
tt Ltyt tt
T
=−+ − −1 1 , (5.196)
[]
Lt Pt t t t Pt t
t
T
() ( ) () () () ( ) ()=− ∧+ −
−
11
1
ϕλ ϕ ϕ
, (5.197)
[]
{}
Pt
t
Pt Pt t t t Pt t t Pt
t
TT
()
()
( ) ( ) () () () ( ) () () ( )=−−− ∧+− −
−
1
11 1 1
1
λ
ϕλ ϕ ϕ ϕ
. (5.198)
5.19. Метод инструментальных переменных
5.19.1.Инструментальные переменные
Предположим, что данные в действительности описываются соотношением
yt t v t
T
() () ()=+
ϕθ
00
(5.199)
для некоторой последовательности {v
0
(t)} случайных величин. Можно мыслить
θ
0
как «истинное значение» вектора параметров.
В типичных случаях оценка МНК
$
θ
N
не будет стремиться к
θ
0
из-за корре-
                            1                       1 P(t − 1)ϕ (t )ϕ T (t ) P(t − 1)ϕ (t )
        R (t )ϕ (t ) =
              −1
                                 P(t − 1)ϕ (t ) −        ⋅                                  =
                          λ (t )                  λ (t )   λ (t ) + ϕ T (t ) P(t − 1)ϕ (t )
                   P(t − 1)ϕ (t )
        =                                  .
          λ (t ) + ϕ T (t ) P(t − 1)ϕ (t )

Таким образом, приходим к следующему варианту алгоритма:

                                       θ$(t ) = θ$(t − 1) + L(t )[ y (t ) − ϕ T (t )θ$(t − 1)] ,                            (5.192)
                                                          P(t − 1)ϕ (t )
                                       L( t ) =                                   ,                                         (5.193)
                                                 λ (t ) + ϕ T (t ) P(t − 1)ϕ (t )
                                       ⎡                P(t − 1)ϕ (t )ϕ T (t ) P(t − 1) ⎤
                                       ⎢ P  ( t − 1) −
                                       ⎣                λ (t ) + ϕ T (t ) P(t − 1)ϕ (t ) ⎥⎦
                              P(t ) =                                                       .    (5.194)
                                                               λ (t )
Здесь мы перешли к обозначению θ$(t ) вместо θ$t , чтобы подчеркнуть определен-
ное их различие из-за влияния начальных условий.
       Рассмотрим теперь многомерный случай взвешенных наименьших квадра-
тов
                           1 t
           θ$t = arg min ∑ β (t , k )[ y ( k ) − ϕ T ( k )θ ]T ∧ −k 1 [ y ( k ) − ϕ T ( k )θ ] , (5.195)
                     θ     2 k =1
где β(t, k) удовлетворяет (5.184). Проводя вычисления, полностью аналогичные
сделанным ранее, получаем многомерный вариант соотношений (5.192)-(5.194)
           θ$(t ) = θ$(t − 1) + L(t )[ y (t ) − ϕ T (t )θ$(t − 1)] ,                             (5.196)
                                             [
                   L(t ) = P(t − 1)ϕ (t ) λ ( t ) ∧ t +ϕ T ( t ) P( t − 1)ϕ ( t )            ]   −1
                                                                                                      ,                     (5.197)
    P(t ) =
                   1
              λ (t )   { P(t − 1) − P(t − 1)ϕ (t )[λ (t ) ∧   t   +ϕ T (t ) P(t − 1)ϕ (t )   ]   −1
                                                                                                                      }
                                                                                                      ϕ T (t ) P(t − 1) .   (5.198)




                              5.19. Метод инструментальных переменных

                                  5.19.1.Инструментальные переменные

       Предположим, что данные в действительности описываются соотношением
                              y (t ) = ϕ T (t )θ0 + v 0 (t )        (5.199)
для некоторой последовательности {v0(t)} случайных величин. Можно мыслить θ0
как «истинное значение» вектора параметров.
       В типичных случаях оценка МНК θ$N не будет стремиться к θ0 из-за корре-



                                                                                                                                  118

Страницы