ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

117
Rt tk k k
T
k
t
() (, ) ( ) ( )=
=
∑
βϕϕ
1
, (5.182)
ft tk kyk
k
t
() (, ) ( ) ( )=
=
∑
βϕ
1
. (5.183)
Чтобы произвести вычисления по формулам (5.181)-(5.183), следовало бы в
момент времени t образовать матрицу
Rt()и вектор f(t) по данным
Zyuyu ytut
t
= [ (), (), ( ), ( ), , () ()]11 2 2K и затем найти
$
θ
t
по формуле (5.181). Из соот-
ношений (5.181)-(5.183) ясно, что
$
θ
t
и
$
θ
t −1
взаимосвязаны. Попытаемся использо-
вать эту взаимосвязь.
Допустим, что последовательность весов имеет следующие свойства:
β
(t,k) =
λ
(t)
β
(t-1,k), 1 ≤ k ≤ t-1,
β
(t,t) = 1. (5.184)
Это означает, что можно записать
βλ
(, ) ( )tk j
k
t
=
+
∏
1
. (5.185)
Заметим, однако, что при этом
Rt tRt t t
T
() () ( ) () ()=−+
λϕϕ
1 , (5.186)
ft tft tyt() () ( ) () ()=
−
+
λ
ϕ
1
. (5.187)
Отсюда
$
() () ()[ () ( ) () ()] ()[ () ( )
$
() ()]
()[ () () ()]
$
() ()
$
() ()[ () ()
$
].
θλϕλθϕ
ϕϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ
t t
T
tt
T
t
Rtft Rt tft tyt Rt tRt tyt
RtRt t t tyt Rt tyt t
== −+= −+=
=− +=+ −
−− −
−
−
−−
−
−
11 1
1
1
11
1
1
11
Имеем
$$
() ()[ () ()
$
]
θθ ϕ ϕ θ
tt
T
t
Rt tyt t=+ −
−
−
−1
1
1
, (5.188)
Rt tRt t t
T
() () ( ) () ()=−+
λϕϕ
1 , (5.189)
что и представляет собой рекуррентный алгоритм наименьших квадратов. Этот
алгоритм удовлетворяет требованию: в момент времени t-1 запоминается только
конечномерный информационный вектор
xt Rt
t
()[
$
,( )]−= −
−
11
1
θ
.
5.18. Вариант алгоритма с рекуррентным обращением матрицы
Чтобы избежать обращения матрицы
Rt()на каждом шаге, удобно ввести
Pt R t() ()=
−1
и применить к (5.189) лемму об обращении матриц
[] [ ]ABCD A ABDABC DA+=− +
−−− − −−111 1 11
. (5.190)
Выбирая
AtRt=−
λ
() ( )1, BD t
T
==
ϕ
()и С = 1, получим
Pt
Pt
Pt t t Pt
ttPtt
t
T
T
()
()
( ) () () ( )
() () ( ) ()
()
=
−−
−−
+−
1
11
1
ϕϕ
λϕ ϕ
λ
. (5.191)
Более того, имеем 
                                               t
                                    R (t ) = ∑ β (t , k )ϕ ( k )ϕ T ( k ) ,                                    (5.182)
                                              k =1
                                               t
                                    f (t ) = ∑ β (t , k )ϕ ( k ) y( k ) .                                      (5.183)
                                              k =1
       Чтобы произвести вычисления по формулам (5.181)-(5.183), следовало бы в
момент времени t образовать матрицу R (t ) и вектор f(t)                        по данным
Z = [ y (1), u(1), y (2), u(2),K , y (t )u(t )] и затем найти θ$ по формуле (5.181). Из соот-
 t
                                                                               t

ношений (5.181)-(5.183) ясно, что θ$t и θ$t −1 взаимосвязаны. Попытаемся использо-
вать эту взаимосвязь.
       Допустим, что последовательность весов имеет следующие свойства:
                 β(t,k) = λ(t)β(t-1,k), 1 ≤ k ≤ t-1,  β(t,t) = 1.        (5.184)
Это означает, что можно записать
                                                             t
                                              β (t , k ) = ∏ λ ( j ) .                                         (5.185)
                                                            k +1
Заметим, однако, что при этом
                                   R (t ) = λ (t ) R (t − 1) + ϕ (t )ϕ T ( t ) ,                           (5.186)
                                    f (t ) = λ (t ) f (t − 1) + ϕ (t ) y (t ) .                            (5.187)
Отсюда
θ$t = R −1 (t ) f (t ) = R −1 (t )[λ (t ) f (t − 1) + ϕ (t ) y (t )] = R −1 (t )[ λ (t ) R (t − 1)θ$t −1 + ϕ (t ) y (t )] =
= R −1 (t )[ R (t ) − ϕ (t )ϕ T (t )]θ$ + ϕ (t ) y (t ) = θ$ + R −1 (t )ϕ (t )[ y (t ) − ϕ T (t )θ$ ].
                                       t −1                      t −1                                   t −1


Имеем
                                   θ$t = θ$t −1 + R −1 (t )ϕ (t )[ y (t ) − ϕ T (t )θ$t −1 ] ,
                                                                       (5.188)
                                   R (t ) = λ (t ) R (t − 1) + ϕ (t )ϕ T ( t ) ,
                                                                       (5.189)
что и представляет собой рекуррентный алгоритм наименьших квадратов. Этот
алгоритм удовлетворяет требованию: в момент времени t-1 запоминается только
конечномерный информационный вектор x (t − 1) = [θ$t −1 , R (t − 1)] .


           5.18. Вариант алгоритма с рекуррентным обращением матрицы

      Чтобы избежать обращения матрицы R (t ) на каждом шаге, удобно ввести
                                     P ( t ) = R −1 ( t )
и применить к (5.189) лемму об обращении матриц
                 [ A + BCD] −1 = A −1 − A −1 B[ DA −1 B + C −1 ]DA −1 . (5.190)

Выбирая A = λ (t ) R (t − 1) , B = D T = ϕ (t ) и С = 1, получим

                                    P(t − 1)ϕ (t )ϕ T (t ) P(t − 1)
                         P(t − 1) −
                                    λ (t ) + ϕ T (t ) P(t − 1)ϕ (t )
                 P(t ) =                                             .                                         (5.191)
                                           λ (t )
Более того, имеем



                                                                                                                     117

Страницы