ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

116
5.15. Взвешенный метод наименьших квадратов
В критерии наименьших квадратов (5.172) различным измерениям могут
быть назначены различные веса:
VZ
N
yt t
N
N
t
T
t
N
(, ) [() ()]
θαϕθ
=−
=
∑
1
2
1
(5.175)
или
VZ Ntyt t
N
NT
t
N
(, ) ( ,)[() ()]
θβ ϕθ
=−
=
∑
2
1
, (5.176)
где
β
(N, t)- весовая функция, зависящая от N. Здесь N - аргумент весовой функции
β
(N, t).
Оценка
$
θ
N
LS
вектора параметров
θ
в этом случае принимает вид
$
( ,) () () ( ,) () ()
θβϕϕ βϕ
N
LS T
t
N
t
N
Nt t t Nt tyt=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⋅
=
−
=
∑∑
1
1
1
. (5.177)
5.16. Многомерный случай метода наименьших квадратов
Если выходная переменная y(t) является p-мерным вектором, то критерий
наименьших квадратов принимает вид
VZ
N
yt t yt t
N
NTTT
t
N
( , ) [ () () ] [ () () ]
θϕθϕθ
=−∧−
−
=
∑
11
2
1
1
, (5.178)
где ∧ - симметричная положительно полуопределенная матрица размера (p
xp), ко-
торая устанавливает веса относительной важности компонент вектора
εθ ϕ θ
(, ) () ()tyt t
T
=− .
Оценка
$
θ
N
LS
вектора параметров
θ
в этом случае принимает вид
$
() () () ()
θϕϕ ϕ
N
LS T
t
N
t
N
N
tt
N
tyt=∧
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⋅∧
−
=
−
−
=
∑∑
11
1
1
1
1
1
. (5.179)
5.17. Рекуррентный алгоритм наименьших квадратов
В разделе (5.15) вычислялась оценка, минимизирующая взвешенный кри-
терий наименьших квадратов.
$
arg min ( , )[ ( ) ( ) ]
θβϕθ
θ
t
T
k
t
tk yk k=−
=
∑
2
1
. (5.180)
Она задается соотношением (5.177):
$
() ()
θ
t
R tft=
−1
, (5.181) 
                  5.15. Взвешенный метод наименьших квадратов

      В критерии наименьших квадратов (5.172) различным измерениям могут
быть назначены различные веса:
                                      1 N
                      V N (θ , Z N ) = ∑ α t [ y (t ) − ϕ T (t )θ ]2 (5.175)
                                      N t =1
или
                                                  N
                            V N (θ , Z N ) = ∑ β ( N , t )[ y (t ) − ϕ T (t )θ ]2 ,                    (5.176)
                                              t =1

где β(N, t)- весовая функция, зависящая от N. Здесь N - аргумент весовой функции
β(N, t).
         Оценка θ$NLS вектора параметров θ в этом случае принимает вид
                                                                 −1
                           ⎡N                           ⎤   N
                   θ$NLS = ⎢∑ β ( N , t )ϕ (t )ϕ T (t ) ⎥ ⋅ ∑ β ( N , t )ϕ (t ) y (t ) .               (5.177)
                           ⎣ t =1                       ⎦ t =1



            5.16. Многомерный случай метода наименьших квадратов

      Если выходная переменная y(t) является p-мерным вектором, то критерий
наименьших квадратов принимает вид

                               N
                          1          1
           V N (θ , Z ) =
                      N
                          N
                              ∑ 2 [ y (t ) − ϕ
                              t =1
                                                      T
                                                          (t )θ ]T ∧ −1 [ y (t ) − ϕ T (t )θ ] ,       (5.178)


где ∧ - симметричная положительно полуопределенная матрица размера (pxp), ко-
торая устанавливает веса относительной важности компонент вектора
ε (t ,θ ) = y (t ) − ϕ T (t )θ .
          Оценка θ$ LS вектора параметров θ в этом случае принимает вид
                  N


                                                                 −1
                           ⎡1        N
                                                        ⎤   1              N
                   θ$NLS = ⎢       ∑    ϕ (t ) ∧ ϕ (t ) ⎥ ⋅
                                             −1           T
                                                                          ∑ ϕ (t ) ∧   −1
                                                                                            y (t ) .   (5.179)
                           ⎣N      t =1                 ⎦   N             t =1




              5.17. Рекуррентный алгоритм наименьших квадратов

       В разделе (5.15) вычислялась оценка, минимизирующая взвешенный кри-
терий наименьших квадратов.
                                              t
                            θ$t = arg min ∑ β (t , k )[ y ( k ) − ϕ T ( k )θ ]2 .                      (5.180)
                                         θ   k =1
Она задается соотношением (5.177):
                      θ$t = R −1 (t ) f (t ) ,                                                         (5.181)



                                                                                                             116

Страницы