ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

32
1. Можно потребовать, чтобы максимальное значение погрешности ап-
проксимации
Δ() () ()
*
ξξ ξ
=−xx (3.3)
было минимальным на заданном интервале определения функции x(
ξ
).
Этот вид аппроксимации, при котором минимизируется величина
Δ()
max
ξ
, называется равномерным приближением.
2. В качестве критерия приближения можно выбрать среднюю погреш-
ность
Δ
cp
T
xxd=−
∫
1
() ()
*
min
max
ξξξ
ξ
ξ
, (3.4)
где T =
ξ
max
-
ξ
min
.
Такая аппроксимация называется приближением в среднем.
3. Если в качестве меры представления принимается минимум среднеквад-
ратичной погрешности
[]
σξξξ
ξ
ξ
=−
∫
1
2
T
xx d() ()
*
min
max
, (3.5)
то такой вид аппроксимации называется приближением в среднеквадра-
тическом.
Существуют и другие критерии приближения [1,2]. В большинстве техни-
ческих применений преимущественное распространение получил среднеквадрати-
ческий критерий, учитывающий интегральный эффект - ошибку, накопленную на
всем интервале определения сигнала, и в большинстве случаев лучше соответст-
вующий физическому смыслу исследуемых явлений. Кроме того, что тоже нема-
ловажно, теория, основанная на этом критерии, имеет наиболее простой и удоб-
ный для практики вид.
Все рассмотренные критерии приближения взаимосвязаны. Если ряд (3.2)
сходится к x(
ξ
) равномерно, то он тем более сходится среднеквадратически. Из
среднеквадратической сходимости вытекает сходимость в среднем.
Для того, чтобы разложение сигнала в форме (3.1) было возможным, сис-
тема базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:
1) Быть упорядоченной системой линейно независимых функций.
2) Быть полной, для того, чтобы по выбранной системе функций можно было раз-
ложить любой сигнал из заданного множества.
3) Число линейно независимых функций в полной системе должно быть равным
размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с
помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. Когда
рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их
размерность бесконечно велика и в этом случае СБФ должна содержать также
бесконечно большое число линейно независимых функций.
Наиболее удобно производить разложение сигналов, если базисная система
{
ϕ
α
(
ξ
)} является ортогональной на интервале определения сигнала [
ξ
min
,
ξ
max
]. Ус-
ловие ортогональности двух различных базисных функций заключается в равенст-
ве нулю их взаимной мощности: 
      1. Можно потребовать, чтобы максимальное значение погрешности ап-
         проксимации
                                   Δ(ξ ) = x (ξ ) − x * (ξ )    (3.3)
         было минимальным на заданном интервале определения функции x(ξ).
         Этот вид аппроксимации, при котором минимизируется величина
          Δ(ξ ) max , называется равномерным приближением.
      2. В качестве критерия приближения можно выбрать среднюю погреш-
         ность
                                  ξ
                               1 max
                         Δ cp = ∫ x (ξ ) − x * (ξ ) dξ ,                (3.4)
                               T ξmin
         где T = ξmax - ξmin.
             Такая аппроксимация называется приближением в среднем.
      3. Если в качестве меры представления принимается минимум среднеквад-
         ратичной погрешности
                                  ξ
                               1 max
                        σ=        ∫ [
                               T ξmin
                                      x (ξ ) − x * (ξ )] dξ ,
                                                        2
                                                                        (3.5)

         то такой вид аппроксимации называется приближением в среднеквадра-
         тическом.
       Существуют и другие критерии приближения [1,2]. В большинстве техни-
ческих применений преимущественное распространение получил среднеквадрати-
ческий критерий, учитывающий интегральный эффект - ошибку, накопленную на
всем интервале определения сигнала, и в большинстве случаев лучше соответст-
вующий физическому смыслу исследуемых явлений. Кроме того, что тоже нема-
ловажно, теория, основанная на этом критерии, имеет наиболее простой и удоб-
ный для практики вид.
       Все рассмотренные критерии приближения взаимосвязаны. Если ряд (3.2)
сходится к x(ξ) равномерно, то он тем более сходится среднеквадратически. Из
среднеквадратической сходимости вытекает сходимость в среднем.
       Для того, чтобы разложение сигнала в форме (3.1) было возможным, сис-
тема базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:
1) Быть упорядоченной системой линейно независимых функций.
2) Быть полной, для того, чтобы по выбранной системе функций можно было раз-
   ложить любой сигнал из заданного множества.
3) Число линейно независимых функций в полной системе должно быть равным
   размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с
   помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. Когда
   рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их
   размерность бесконечно велика и в этом случае СБФ должна содержать также
   бесконечно большое число линейно независимых функций.
       Наиболее удобно производить разложение сигналов, если базисная система
{ϕα(ξ)} является ортогональной на интервале определения сигнала [ξmin, ξmax]. Ус-
ловие ортогональности двух различных базисных функций заключается в равенст-
ве нулю их взаимной мощности:



                                                                                32

Страницы