ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 33 стр.

                           ξ
                         1 max
                             ∫ ϕ α (ξ )ϕ k (ξ )dξ = Q a δ a k ,
                         T ξ min
                                                                                (3.6)

где символ Кронекера и мощность α-й базисной функции
                                ⎧0 п ри α ≠ k ;
                         δαk = ⎨                                                (3.7)
                                ⎩1 п ри α = k ;
                                     ξ max
                                1
                        Qα =           ∫ ϕ α (ξ )dξ .
                                             2
                                                                                (3.8)
                                T    ξmin

          Интервал определения ортогональных базисных функций называется также
интервалом ортогональности.
          Если система ортогональных функций полная, то к ней нельзя добавить ни
одной новой функции, которая была бы ортогональна одновременно ко всем дру-
гим функциям данной системы. Известно, что любую систему линейно независи-
мых функций можно ортогонализировать, т.е. преобразовать в ортогональную
систему [1].
          Представление сигналов с помощью ортогональных СБФ обладает тем
важным свойством, что повышение порядка аппроксимирующего многочлена все-
гда улучшает аппроксимацию по сравнению с представлением сигналов неортого-
нальными СБФ. Если при N→∞ многочлен x * (ξ ) [см. (3.2)] сходится к x(ξ ) , то
x * (ξ ) совпадает с x(ξ ) в рамках выбранного критерия приближения.
          Система ортогональных функций называется также нормированной, если
мощности всех базисных функций равны единице (в этом случае СБФ называется
еще ортонормированной):
                                 ξ
                               1 max 2
                                  ∫ ϕα (ξ )dξ = 1 .
                               T ξmin
                                                                            (3.9)

       Любую систему ортогональных функций можно нормировать, если разде-
лить каждую базисную функцию на ее мощность.
       При представлении сигналов в форме (3.2) необходимо решать вопрос о
способе вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть
от используемого метода аппроксимации (вида принятого критерия сходимости).
В случае применения среднеквадратического критерия коэффициенты cα, выби-
рают таким образом, чтобы среднеквадратическая ошибка σ была минимальной.
Это достигается с помощью обобщенной формулы Фурье расчета спектра:
                                                    ξ max

                            cα = [1/(Q αT )]·
                                                    ξ
                                                      ∫ x(ξ )ϕ α (ξ )dξ .   (3.10)
                                                        min

       Очевидно, что среднеквадратическая аппроксимация имеет смысл тогда,
когда мощность сигнала x(ξ ) и функций ϕα(ξ) на интервале аппроксимации имеет
конечное значение. В случае комплексных базисных систем в формуле (3.10) рас-
чета спектра должна стоять комплексно-сопряженная функция ϕα* (ξ ) .
       Увеличивая неограниченно число членов в аппроксимирующем многочле-
не с коэффициентами в форме (3.10), получим в пределе равенство x * (ξ ) = x(ξ ) ,
выполняемое при σ →∞. При этом аппроксимирующий многочлен примет вид



                                                                                        33