ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 34 стр.

бесконечного ряда, называемого обобщенным рядом Фурье.
       В спектральном представлении (3.1) и в формуле расчета спектра (3.10) ба-
зисные функции являются функциями двух переменных ξ и α, а спектральные ко-
эффициенты - функциями переменной α. Это приводит к симметрии выражений
(3.1) и (3.10), называемых соответственно прямым и обратным преобразованием
Фурье, из которой следует математическое равноправие функций x(ξ ) и сα как
различных форм представления сигнала. Для рядов Фурье справедливо равенство
Парсеваля [3]:
                              ξ              ∞
                            1 max 2
                               ∫ϕα (ξ )dξ =α∑=0 Q α сα2 .
                            T ξmin
                                                                         (3.11)

      Так как правая часть этого равенства определяет мощность сигнала при его
представлении с помощью спектров, а левая - его мощность при записи в виде ма-
тематической функции, то равенство Парсеваля отражает эквивалентность двух
форм представления сигналов с физической (энергетической) точки зрения. Вы-
полнение равенства Парсеваля свидетельствует также о полноте ортогональной
СБФ.
      Рассмотрим представление с помощью спектров дискретных сигналов. Ре-
шетчатая функция x(i), i ∈ [0, N] записывается в виде обобщенного дискретного
ряда
                                             N −1
                                      x(i ) = ∑ сα ϕ α (i )              (3.12)
                                             α =0
по любым полным и ортогональным системам решетчатых базисных функций
{ϕα(i)}. При этом моменты отсчетов базисных функций должны совпадать с мо-
ментами отсчетов раскладываемых сигналов.
       Условия ортогональности и нормированности дискретных СБФ определя-
ются уравнениями
                                    1 N −1
                                       ∑ ϕ α (i)ϕ k (i) = Q α δ αk ;
                                   N i =0
                                                                       (3.13)

                                           1 N −1
                                  Q α = ∑ ϕ α2 (i ) = 1 ,              (3.14)
                                          N i =0
а равенство Парсеваля для дискретных сигналов имеет вид
                               1 N −1 2         1 N −1
                                 ∑
                               N i =0
                                      x (i ) = ∑ Q α cα2 .
                                                N α =0
                                                                            (3.15)

                                                                     1 N −1 2
       Для дискретных функций, удовлетворяющих условию                 ∑ x (i) < ∞ ,
                                                                     N i =0
справедлива следующая формула для определения спектра:
                                                      N −1
                                  cα = [1/(Q α N )]· ∑ x(i )ϕ α (i ) .      (3.16)
                                                      i =0
         Формулы (3.12) и (3.16) представляют собой дискретные преобразования
Фурье.

                        3.3. Системы базисных функций

      Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или, что
одно и то же, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние



                                                                                     34