ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

84
В стационарном случае уравнения (4.129), (4.130) принимают вид
&
x
= Ax + Bu + ψf, y=Dx + v, (4.140)
где случайные процессы
f(t), v(t), типа «белый шум» характеризуются постоянны-
ми корреляционными матрицами
R
(1)
и R
(2)
.
Матрица
K оптимального наблюдателя
$
&
x
= A
$
x
+ К[y - D
$
x
] + Bu (4.141)
определяется как
K = P
e
D
T
(R
(2)
)
-1
, (4.142)
где
P
e
- матрица чисел размерности (n x n) есть решение алгебраического уравне-
ния
AP
e
+ P
e
A
T
- P
e
D
T
(R
(2)
)
-1
DP
e
+ ψR
(1)
ψ
T
= 0, (4.143)
которое находится как установившееся решение дифференциального уравнения
(4.137) (в котором
A(t) = A, D(t) = D, R
(1)
(t) = R
(1)
, R
(2)
(t) = R
(2)
) при t→∞. Та-
кой наблюдатель является оптимальным в смысле функционала
J = lim
t→∞
M{e
T
(t)Λe(t)}. (4.144)
Отметим, что, как и в нестационарном случае, матрица
K не зависит от выбо-
ра матрицы
Λ функционала оптимизации.
Возвращаясь к задаче оптимального стохастического управления при непол-
ной информации о векторе переменных состояния, отметим, что ее решение явля-
ется комбинацией решения задачи оптимального стохастического управления при
полной информации о векторе переменных состояния и решения задачи опти-
мального наблюдения. Сформулируем этот результат в виде теоремы.
Теорема 4.1.
(теорема разделения). Оптимальное в смысле функционала
(4.133) стохастическое управление объектом (4.129), (4.130) имеет вид
U = C
T
(t)
$
()
x
t
, (4.145)
где C
T
(t) - матрица коэффициентов усиления, определяемая соотношениями
(4.121) - (4.123), которые получены для оптимального в смысле функционала
(4.133) стохастического управления при полностью измеряемом векторе состоя-
ния объекта (4.129); вектор
$
()
x
t - это n-мерный вектор переменных состояния оп-
тимального в смысле функционала (4.135) наблюдателя (4.134), матрица
K(t) ко-
эффициентов усиления которого определяется выражениями (4.136),(4.137). 
    В стационарном случае уравнения (4.129), (4.130) принимают вид

        x& = Ax + Bu + ψf,                y=Dx + v,                 (4.140)

где случайные процессы f(t), v(t), типа «белый шум» характеризуются постоянны-
ми корреляционными матрицами R(1) и R(2).
    Матрица K оптимального наблюдателя

              x&$ = A x$ + К[y - D x$ ] + Bu                        (4.141)

определяется как

                 K = PeDT(R(2))-1,                                  (4.142)

где Pe - матрица чисел размерности (n x n) есть решение алгебраического уравне-
ния

     APe + PeAT - PeDT(R(2))-1DPe + ψR(1)ψT = 0,                    (4.143)

которое находится как установившееся решение дифференциального уравнения
(4.137) (в котором A(t) = A, D(t) = D, R(1)(t) = R(1), R(2)(t) = R(2)) при t→∞. Та-
кой наблюдатель является оптимальным в смысле функционала

               J = lim M{eT(t)Λe(t)}.                               (4.144)
                    t →∞



    Отметим, что, как и в нестационарном случае, матрица K не зависит от выбо-
ра матрицы Λ функционала оптимизации.
    Возвращаясь к задаче оптимального стохастического управления при непол-
ной информации о векторе переменных состояния, отметим, что ее решение явля-
ется комбинацией решения задачи оптимального стохастического управления при
полной информации о векторе переменных состояния и решения задачи опти-
мального наблюдения. Сформулируем этот результат в виде теоремы.
    Теорема 4.1.    (теорема разделения). Оптимальное в смысле функционала
(4.133) стохастическое управление объектом (4.129), (4.130) имеет вид


                   U = CT(t) x$ ( t ) ,                             (4.145)

где CT(t) - матрица коэффициентов усиления, определяемая соотношениями
(4.121) - (4.123), которые получены для оптимального в смысле функционала
(4.133) стохастического управления при полностью измеряемом векторе состоя-
ния объекта (4.129); вектор x$( t ) - это n-мерный вектор переменных состояния оп-
тимального в смысле функционала (4.135) наблюдателя (4.134), матрица K(t) ко-
эффициентов усиления которого определяется выражениями (4.136),(4.137).




                                                                                84

Страницы