ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

83
вектор
()0
x
и матрица
()0
R
размерности (n x n) известны.
Требуется найти управление
u, зависящее от измеряемого вектора y, такое,
чтобы критерий
(
JM
T
t
t
x
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
∫
0
1
Q ()t
x
+
T
u
)
u
dt
+
T
x
()t
1
()1
Px
()t
1
⎫
⎬
⎭
, (4.133)
где Q ()t ,
()1
P
- заданные положительно-определенные матрицы, принимая наи-
меньшее значение.
Регулятор, формирующий искомое управление, состоит из двух частей: уст-
ройства, реализующего оптимальный закон (4.120), в котором вместо неизвестно-
го вектора переменных состояний
x подставляется его оценка
$
x
, вырабатывае-
мая во втором устройстве - наблюдателе. Наблюдатель описывается уравнением
$
&
x
= A(t)
$
x
+ K(t)[Y - D(t)
$
x
]+ B(t)u, (4.134)
в котором матрица
K(t) определяется из условия минимума функционала
J = M{
e
T
Λ(t)e}. (4.135)
Здесь
Λ(t) - заданная положительно-определенная матрица; e = x -
$
x
- ошибка на-
блюдения (фильтрации).
При таком определении матрицы
K(t) уравнение (4.134) описывает опти-
мальный наблюдатель (оптимальный фильтр Калмана-Бьюси).
Утверждение 4.2.
Матрица K(t) уравнения наблюдателя (4.134), при которой
(4.135) достигает минимального значения, определяется выражением
K(t) = P
e
(t)D
T
(t)(R
(2)
(t))
-1
, (4.136)
где P
e
(t) - матрица размерности (n x n), являющаяся решением уравнения Риккати
e
P
&
(t) = A(t)P
e
(t) + P
e
(t)A
T
(t) - P
e
(t)D
T
(t) (R
(2)
(t))
-1
D(t)P
e
(t) +
+
ψ(t)R
(1)
ψ
T
(t), t ≥ t
0
(4.137)
с начальным условием
P
e
(t
0
) = R
(0)
. (4.138)
Начальное условие для наблюдателя (4.134) должно быть выбрано в виде
()
$
xt
0
=
()0
x
. (4.139)
Наблюдатель (4.134), у которого матрица
K(t) и начальные условия опреде-
ляются соотношениями (4.136) - (4.139), часто называют фильтром Калмана-
Бьюси по имени авторов этих соотношений. 
                 ( 0)                      ( 0)
вектор x и матрица R размерности (n x n) известны.
    Требуется найти управление u, зависящее от измеряемого вектора y, такое,
чтобы критерий

                 ⎧⎪t1                                                                    ⎫
                          (x                          u) dt + x
                               T
           J = M ⎨∫
                                                  T               T            (1)
                                   Q (t ) x + u                       (t1 )   P x (t )
                                                                                     1   ⎬ ,    (4.133)
                  ⎪⎩t 0                                                                  ⎭
                        (1)
где   Q (t ) ,     P          - заданные положительно-определенные матрицы, принимая наи-
меньшее значение.
    Регулятор, формирующий искомое управление, состоит из двух частей: уст-
ройства, реализующего оптимальный закон (4.120), в котором вместо неизвестно-
го вектора переменных состояний x подставляется его оценка x$ , вырабатывае-
мая во втором устройстве - наблюдателе. Наблюдатель описывается уравнением

                        x&$   = A(t) x$ + K(t)[Y - D(t) x$ ]+ B(t)u,                           (4.134)

в котором матрица K(t) определяется из условия минимума функционала

                                      J = M{eTΛ(t)e}.                                          (4.135)

Здесь Λ(t) - заданная положительно-определенная матрица; e = x - x$ - ошибка на-
блюдения (фильтрации).
    При таком определении матрицы K(t) уравнение (4.134) описывает опти-
мальный наблюдатель (оптимальный фильтр Калмана-Бьюси).

    Утверждение 4.2. Матрица K(t) уравнения наблюдателя (4.134), при которой
(4.135) достигает минимального значения, определяется выражением

                              K(t) = Pe(t)DT(t)(R(2)(t))-1 ,                                   (4.136)

где Pe(t) - матрица размерности (n x n), являющаяся решением уравнения Риккати

 P&   e
          (t) = A(t)Pe(t) + Pe(t)AT(t) - Pe(t)DT(t) (R(2)(t))-1 D(t)Pe(t) +
                               + ψ(t)R(1)ψT(t),          t ≥ t0                                (4.137)

с начальным условием

                                       Pe(t0) = R(0).                                          (4.138)

Начальное условие для наблюдателя (4.134) должно быть выбрано в виде

                                     x$ (t 0   )= x    ( 0)
                                                              .                                (4.139)

   Наблюдатель (4.134), у которого матрица K(t) и начальные условия опреде-
ляются соотношениями (4.136) - (4.139), часто называют фильтром Калмана-
Бьюси по имени авторов этих соотношений.



                                                                                                          83

Страницы